Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsn0fun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsn0fun 16117
 Description: The value of the structure replacement function (without the empty set) is a function if the structure (without the empty set)is a function. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.) (Revised by AV, 16-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
setsn0fun.s (𝜑𝑆 Struct 𝑋)
setsn0fun.i (𝜑𝐼𝑈)
setsn0fun.e (𝜑𝐸𝑊)
Assertion
Ref Expression
setsn0fun (𝜑 → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))

Proof of Theorem setsn0fun
StepHypRef Expression
1 setsn0fun.s . 2 (𝜑𝑆 Struct 𝑋)
2 structn0fun 16091 . . 3 (𝑆 Struct 𝑋 → Fun (𝑆 ∖ {∅}))
3 setsn0fun.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑈)
4 setsn0fun.e . . . . 5 (𝜑𝐸𝑊)
5 structex 16090 . . . . . . 7 (𝑆 Struct 𝑋𝑆 ∈ V)
6 setsfun0 16116 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ V ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
75, 6sylanl1 685 . . . . . 6 (((𝑆 Struct 𝑋 ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅})) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
87expcom 450 . . . . 5 ((𝐼𝑈𝐸𝑊) → ((𝑆 Struct 𝑋 ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅})) → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅})))
93, 4, 8syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 Struct 𝑋 ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅})) → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅})))
109com12 32 . . 3 ((𝑆 Struct 𝑋 ∧ Fun (𝑆 ∖ {∅})) → (𝜑 → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅})))
112, 10mpdan 705 . 2 (𝑆 Struct 𝑋 → (𝜑 → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅})))
121, 11mpcom 38 1 (𝜑 → Fun ((𝑆 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ∖ {∅}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712  ∅c0 4058  {csn 4321  ⟨cop 4327   class class class wbr 4804  Fun wfun 6043  (class class class)co 6814   Struct cstr 16075   sSet csts 16077 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-sets 16086 This theorem is referenced by:  setsvtx  26147  setsiedg  26148
 Copyright terms: Public domain W3C validator