MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsmstopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsmstopn 22523
Description: The topology of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x (𝜑𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d (𝜑𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsms.m (𝜑𝑀𝑉)
Assertion
Ref Expression
setsmstopn (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))

Proof of Theorem setsmstopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 setsms.x . . 3 (𝜑𝑋 = (Base‘𝑀))
2 setsms.d . . 3 (𝜑𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
3 setsms.k . . 3 (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
4 setsms.m . . 3 (𝜑𝑀𝑉)
51, 2, 3, 4setsmstset 22522 . 2 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopSet‘𝐾))
6 df-mopn 19977 . . . . . . . 8 MetOpen = (𝑥 ran ∞Met ↦ (topGen‘ran (ball‘𝑥)))
76dmmptss 5786 . . . . . . 7 dom MetOpen ⊆ ran ∞Met
87sseli 3754 . . . . . 6 (𝐷 ∈ dom MetOpen → 𝐷 ran ∞Met)
9 simpr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → 𝐷 ran ∞Met)
10 xmetunirn 22382 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ran ∞Met ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
119, 10sylib 209 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → 𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷))
12 eqid 2774 . . . . . . . . . . 11 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
1312mopnuni 22486 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘dom dom 𝐷) → dom dom 𝐷 = (MetOpen‘𝐷))
1411, 13syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷 = (MetOpen‘𝐷))
152dmeqd 5476 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝐷 = dom ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
16 dmres 5571 . . . . . . . . . . . . . 14 dom ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀))
1715, 16syl6eq 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → dom 𝐷 = ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀)))
18 inss1 3988 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 × 𝑋) ∩ dom (dist‘𝑀)) ⊆ (𝑋 × 𝑋)
1917, 18syl6eqss 3811 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝐷 ⊆ (𝑋 × 𝑋))
20 dmss 5473 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝐷 ⊆ (𝑋 × 𝑋) → dom dom 𝐷 ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom dom 𝐷 ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
22 dmxpid 5495 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
2321, 22syl6sseq 3807 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom dom 𝐷𝑋)
2423adantr 467 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → dom dom 𝐷𝑋)
2514, 24eqsstr3d 3796 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝑋)
26 sspwuni 4756 . . . . . . . 8 ((MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋 (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝑋)
2725, 26sylibr 225 . . . . . . 7 ((𝜑𝐷 ran ∞Met) → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
2827ex 398 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷 ran ∞Met → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋))
298, 28syl5 34 . . . . 5 (𝜑 → (𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋))
30 ndmfv 6376 . . . . . 6 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) = ∅)
31 0ss 4127 . . . . . 6 ∅ ⊆ 𝒫 𝑋
3230, 31syl6eqss 3811 . . . . 5 𝐷 ∈ dom MetOpen → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
3329, 32pm2.61d1 172 . . . 4 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ⊆ 𝒫 𝑋)
341, 2, 3setsmsbas 22520 . . . . 5 (𝜑𝑋 = (Base‘𝐾))
3534pweqd 4312 . . . 4 (𝜑 → 𝒫 𝑋 = 𝒫 (Base‘𝐾))
3633, 5, 353sstr3d 3803 . . 3 (𝜑 → (TopSet‘𝐾) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐾))
37 eqid 2774 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
38 eqid 2774 . . . 4 (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
3937, 38topnid 16324 . . 3 ((TopSet‘𝐾) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐾) → (TopSet‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾))
4036, 39syl 17 . 2 (𝜑 → (TopSet‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾))
415, 40eqtrd 2808 1 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1634  wcel 2148  cin 3728  wss 3729  c0 4073  𝒫 cpw 4307  cop 4332   cuni 4585   × cxp 5261  dom cdm 5263  ran crn 5264  cres 5265  cfv 6042  (class class class)co 6812  ndxcnx 16081   sSet csts 16082  Basecbs 16084  TopSetcts 16175  distcds 16178  TopOpenctopn 16310  topGenctg 16326  ∞Metcxmt 19966  ballcbl 19968  MetOpencmopn 19971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236  ax-pre-sup 10237
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-er 7917  df-map 8032  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-sup 8525  df-inf 8526  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-div 10908  df-nn 11244  df-2 11302  df-3 11303  df-4 11304  df-5 11305  df-6 11306  df-7 11307  df-8 11308  df-9 11309  df-n0 11517  df-z 11602  df-uz 11911  df-q 12014  df-rp 12053  df-xneg 12168  df-xadd 12169  df-xmul 12170  df-ndx 16087  df-slot 16088  df-base 16090  df-sets 16091  df-tset 16188  df-rest 16311  df-topn 16312  df-topgen 16332  df-psmet 19973  df-xmet 19974  df-bl 19976  df-mopn 19977  df-top 20939  df-topon 20956  df-bases 20991
This theorem is referenced by:  setsxms  22524  tmslem  22527
  Copyright terms: Public domain W3C validator