Theorem setsidvald 16087

Description: Value of the structure replacement function, deduction version. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsidvald.e	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
setsidvald.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
setsidvald.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
setsidvald.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
setsidvald.d	⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
setsidvald	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩))

Proof of Theorem setsidvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsidvald.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
2		fvex 6358	. . 3 ⊢ (𝐸‘𝑆) ∈ V
3		setsval 16086	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸‘𝑆) ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}))
4	1, 2, 3	sylancl 697	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}))
5		setsidvald.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
6		setsidvald.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
7	5, 6	ndxid 16081	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
8	7, 1	strfvnd 16074	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
9	8	opeq2d 4556	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩ = ⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩)
10	9	sneqd 4329	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩} = {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩})
11	10	uneq2d 3906	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}))
12		setsidvald.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑆)
13		setsidvald.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
14		funresdfunsn 6615	. . 3 ⊢ ((Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
15	12, 13, 14	syl2anc 696	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
16	4, 11, 15	3eqtrrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸‘𝑆)⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1628   ∈ wcel 2135  Vcvv 3336   ∖ cdif 3708   ∪ cun 3709  {csn 4317  ⟨cop 4323  dom cdm 5262   ↾ cres 5264  Fun wfun 6039  ‘cfv 6045  (class class class)co 6809  ℕcn 11208  ndxcnx 16052   sSet csts 16053  Slot cslot 16054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-nn 11209  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-sets 16062

This theorem is referenced by:  ressval3d  16135