MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsidvald Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsidvald 16087
Description: Value of the structure replacement function, deduction version. (Contributed by AV, 14-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
setsidvald.e 𝐸 = Slot 𝑁
setsidvald.n 𝑁 ∈ ℕ
setsidvald.s (𝜑𝑆𝑉)
setsidvald.f (𝜑 → Fun 𝑆)
setsidvald.d (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
Assertion
Ref Expression
setsidvald (𝜑𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩))

Proof of Theorem setsidvald
StepHypRef Expression
1 setsidvald.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
2 fvex 6358 . . 3 (𝐸𝑆) ∈ V
3 setsval 16086 . . 3 ((𝑆𝑉 ∧ (𝐸𝑆) ∈ V) → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩}))
41, 2, 3sylancl 697 . 2 (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩}))
5 setsidvald.e . . . . . . 7 𝐸 = Slot 𝑁
6 setsidvald.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℕ
75, 6ndxid 16081 . . . . . 6 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
87, 1strfvnd 16074 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸𝑆) = (𝑆‘(𝐸‘ndx)))
98opeq2d 4556 . . . 4 (𝜑 → ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩ = ⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩)
109sneqd 4329 . . 3 (𝜑 → {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩} = {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩})
1110uneq2d 3906 . 2 (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}))
12 setsidvald.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝑆)
13 setsidvald.d . . 3 (𝜑 → (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆)
14 funresdfunsn 6615 . . 3 ((Fun 𝑆 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ dom 𝑆) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
1512, 13, 14syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ((𝑆 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), (𝑆‘(𝐸‘ndx))⟩}) = 𝑆)
164, 11, 153eqtrrd 2795 1 (𝜑𝑆 = (𝑆 sSet ⟨(𝐸‘ndx), (𝐸𝑆)⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1628  wcel 2135  Vcvv 3336  cdif 3708  cun 3709  {csn 4317  cop 4323  dom cdm 5262  cres 5264  Fun wfun 6039  cfv 6045  (class class class)co 6809  cn 11208  ndxcnx 16052   sSet csts 16053  Slot cslot 16054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-nn 11209  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-sets 16062
This theorem is referenced by:  ressval3d  16135
  Copyright terms: Public domain W3C validator