MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setsfun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setsfun 16100
Description: A structure with replacement is a function if the original structure is a function. (Contributed by AV, 7-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
setsfun (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))

Proof of Theorem setsfun
StepHypRef Expression
1 funres 6072 . . . . 5 (Fun 𝐺 → Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
21adantl 467 . . . 4 ((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) → Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
32adantr 466 . . 3 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
4 funsng 6080 . . . 4 ((𝐼𝑈𝐸𝑊) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
54adantl 467 . . 3 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩})
6 dmres 5560 . . . . . 6 dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺)
76ineq1i 3961 . . . . 5 (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})
8 in32 3974 . . . . . 6 (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺)
9 incom 3956 . . . . . . . 8 ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = (dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
10 disjdif 4182 . . . . . . . 8 (dom {⟨𝐼, 𝐸⟩} ∩ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) = ∅
119, 10eqtri 2793 . . . . . . 7 ((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
1211ineq1i 3961 . . . . . 6 (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) = (∅ ∩ dom 𝐺)
13 0in 4113 . . . . . 6 (∅ ∩ dom 𝐺) = ∅
148, 12, 133eqtri 2797 . . . . 5 (((V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∩ dom 𝐺) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
157, 14eqtri 2793 . . . 4 (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅
1615a1i 11 . . 3 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅)
17 funun 6075 . . 3 (((Fun (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∧ Fun {⟨𝐼, 𝐸⟩}) ∧ (dom (𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∩ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩}) = ∅) → Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
183, 5, 16, 17syl21anc 1475 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
19 opex 5060 . . . . . 6 𝐼, 𝐸⟩ ∈ V
2019a1i 11 . . . . 5 (Fun 𝐺 → ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V)
21 setsvalg 16094 . . . . 5 ((𝐺𝑉 ∧ ⟨𝐼, 𝐸⟩ ∈ V) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
2220, 21sylan2 580 . . . 4 ((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) → (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) = ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩}))
2322funeqd 6053 . . 3 ((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) → (Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ↔ Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
2423adantr 466 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → (Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩) ↔ Fun ((𝐺 ↾ (V ∖ dom {⟨𝐼, 𝐸⟩})) ∪ {⟨𝐼, 𝐸⟩})))
2518, 24mpbird 247 1 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐼𝑈𝐸𝑊)) → Fun (𝐺 sSet ⟨𝐼, 𝐸⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cdif 3720  cun 3721  cin 3722  c0 4063  {csn 4316  cop 4322  dom cdm 5249  cres 5251  Fun wfun 6025  (class class class)co 6793   sSet csts 16062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-res 5261  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-sets 16071
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator