Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setind 8648
 Description: Set (epsilon) induction. Theorem 5.22 of [TakeutiZaring] p. 21. (Contributed by NM, 17-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
setind (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → 𝐴 = V)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem setind
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssindif0 4064 . . . . . . 7 (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
2 sseq1 3659 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
3 eleq1 2718 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
42, 3imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴𝑥𝐴) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐴)))
54spv 2296 . . . . . . 7 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → (𝑦𝐴𝑦𝐴))
61, 5syl5bir 233 . . . . . 6 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → ((𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅ → 𝑦𝐴))
7 eldifn 3766 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦𝐴)
86, 7nsyli 155 . . . . 5 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → (𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴) → ¬ (𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅))
98imp 444 . . . 4 ((∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)) → ¬ (𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
109nrexdv 3030 . . 3 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → ¬ ∃𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)(𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
11 zfregs 8646 . . . 4 ((V ∖ 𝐴) ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)(𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
1211necon1bi 2851 . . 3 (¬ ∃𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)(𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅ → (V ∖ 𝐴) = ∅)
1310, 12syl 17 . 2 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → (V ∖ 𝐴) = ∅)
14 vdif0 4070 . 2 (𝐴 = V ↔ (V ∖ 𝐴) = ∅)
1513, 14sylibr 224 1 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝐴) → 𝐴 = V)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wal 1521   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-reg 8538  ax-inf2 8576 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551 This theorem is referenced by:  setind2  8649  tz9.13  8692  unir1  8714  setinds  31807  vsetrec  42774
 Copyright terms: Public domain W3C validator