Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  setcinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem setcinv 16961
 Description: An inverse in the category of sets is the converse operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
setcmon.c 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
setcmon.u (𝜑𝑈𝑉)
setcmon.x (𝜑𝑋𝑈)
setcmon.y (𝜑𝑌𝑈)
setcinv.n 𝑁 = (Inv‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
setcinv (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐺 = 𝐹)))

Proof of Theorem setcinv
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
2 setcinv.n . . 3 𝑁 = (Inv‘𝐶)
3 setcmon.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
4 setcmon.c . . . . 5 𝐶 = (SetCat‘𝑈)
54setccat 16956 . . . 4 (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)
63, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
7 setcmon.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑈)
84, 3setcbas 16949 . . . 4 (𝜑𝑈 = (Base‘𝐶))
97, 8eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
10 setcmon.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑈)
1110, 8eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
12 eqid 2760 . . 3 (Sect‘𝐶) = (Sect‘𝐶)
131, 2, 6, 9, 11, 12isinv 16641 . 2 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹)))
144, 3, 7, 10, 12setcsect 16960 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋 ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
15 df-3an 1074 . . . . 5 ((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋 ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ↔ ((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋)))
1614, 15syl6bb 276 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺 ↔ ((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋))))
174, 3, 10, 7, 12setcsect 16960 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ (𝐺:𝑌𝑋𝐹:𝑋𝑌 ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
18 3ancoma 1084 . . . . . 6 ((𝐺:𝑌𝑋𝐹:𝑋𝑌 ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝑌)) ↔ (𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋 ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
19 df-3an 1074 . . . . . 6 ((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋 ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝑌)) ↔ ((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
2018, 19bitri 264 . . . . 5 ((𝐺:𝑌𝑋𝐹:𝑋𝑌 ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝑌)) ↔ ((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
2117, 20syl6bb 276 . . . 4 (𝜑 → (𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹 ↔ ((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
2216, 21anbi12d 749 . . 3 (𝜑 → ((𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹) ↔ (((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ∧ ((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))))
23 anandi 906 . . 3 (((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ ((𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝑌))) ↔ (((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋)) ∧ ((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
2422, 23syl6bbr 278 . 2 (𝜑 → ((𝐹(𝑋(Sect‘𝐶)𝑌)𝐺𝐺(𝑌(Sect‘𝐶)𝑋)𝐹) ↔ ((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ ((𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))))
25 fcof1o 6715 . . . . . 6 (((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ ((𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝑌) ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋))) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 = 𝐺))
26 eqcom 2767 . . . . . . 7 (𝐹 = 𝐺𝐺 = 𝐹)
2726anbi2i 732 . . . . . 6 ((𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹 = 𝐺) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐺 = 𝐹))
2825, 27sylib 208 . . . . 5 (((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ ((𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝑌) ∧ (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋))) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐺 = 𝐹))
2928ancom2s 879 . . . 4 (((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ ((𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝑌))) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐺 = 𝐹))
3029adantl 473 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ ((𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))) → (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐺 = 𝐹))
31 f1of 6299 . . . . 5 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑋𝑌)
3231ad2antrl 766 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐺 = 𝐹)) → 𝐹:𝑋𝑌)
33 f1ocnv 6311 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
3433ad2antrl 766 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐺 = 𝐹)) → 𝐹:𝑌1-1-onto𝑋)
35 f1oeq1 6289 . . . . . . 7 (𝐺 = 𝐹 → (𝐺:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌1-1-onto𝑋))
3635ad2antll 767 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐺 = 𝐹)) → (𝐺:𝑌1-1-onto𝑋𝐹:𝑌1-1-onto𝑋))
3734, 36mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐺 = 𝐹)) → 𝐺:𝑌1-1-onto𝑋)
38 f1of 6299 . . . . 5 (𝐺:𝑌1-1-onto𝑋𝐺:𝑌𝑋)
3937, 38syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐺 = 𝐹)) → 𝐺:𝑌𝑋)
40 simprr 813 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐺 = 𝐹)) → 𝐺 = 𝐹)
4140coeq1d 5439 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐺 = 𝐹)) → (𝐺𝐹) = (𝐹𝐹))
42 f1ococnv1 6327 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝑋))
4342ad2antrl 766 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐺 = 𝐹)) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝑋))
4441, 43eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐺 = 𝐹)) → (𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋))
4540coeq2d 5440 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐺 = 𝐹)) → (𝐹𝐺) = (𝐹𝐹))
46 f1ococnv2 6325 . . . . . . 7 (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝑌))
4746ad2antrl 766 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐺 = 𝐹)) → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝑌))
4845, 47eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐺 = 𝐹)) → (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝑌))
4944, 48jca 555 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐺 = 𝐹)) → ((𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝑌)))
5032, 39, 49jca31 558 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐺 = 𝐹)) → ((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ ((𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝑌))))
5130, 50impbida 913 . 2 (𝜑 → (((𝐹:𝑋𝑌𝐺:𝑌𝑋) ∧ ((𝐺𝐹) = ( I ↾ 𝑋) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝑌))) ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐺 = 𝐹)))
5213, 24, 513bitrd 294 1 (𝜑 → (𝐹(𝑋𝑁𝑌)𝐺 ↔ (𝐹:𝑋1-1-onto𝑌𝐺 = 𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804   I cid 5173  ◡ccnv 5265   ↾ cres 5268   ∘ ccom 5270  ⟶wf 6045  –1-1-onto→wf1o 6048  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  Catccat 16546  Sectcsect 16625  Invcinv 16626  SetCatcsetc 16946 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-hom 16188  df-cco 16189  df-cat 16550  df-cid 16551  df-sect 16628  df-inv 16629  df-setc 16947 This theorem is referenced by:  setciso  16962  yonedainv  17142
 Copyright terms: Public domain W3C validator