Theorem serclim0 14516

Description: The zero series converges to zero. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
serclim0	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0})) ⇝ 0)

Proof of Theorem serclim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2771	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2	1	ser0f 13061	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0})) = ((ℤ≥‘𝑀) × {0}))
3		0cn 10234	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
4		ssid 3773	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ (ℤ≥‘𝑀)
5		fvex 6342	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ∈ V
6	4, 5	climconst2 14487	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((ℤ≥‘𝑀) × {0}) ⇝ 0)
7	3, 6	mpan 670	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑀) × {0}) ⇝ 0)
8	2, 7	eqbrtrd 4808	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0})) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  {csn 4316   class class class wbr 4786   × cxp 5247  ‘cfv 6031  ℂcc 10136  0cc0 10138   + caddc 10141  ℤcz 11579  ℤ_≥cuz 11888  seqcseq 13008   ⇝ cli 14423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427

This theorem is referenced by:  iserge0  14599  sum0  14660  sumz  14661  geomulcvg  14814  ovoliunnul  23495  vitalilem5  23600  lgam1  25011  binomcxplemnn0  39074