Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ser0f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ser0f 13068
 Description: A zero-valued infinite series is equal to the constant zero function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ser0.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
Assertion
Ref Expression
ser0f (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}))

Proof of Theorem ser0f
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ser0.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
21ser0 13067 . . . 4 (𝑘𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = 0)
3 c0ex 10246 . . . . 5 0 ∈ V
43fvconst2 6634 . . . 4 (𝑘𝑍 → ((𝑍 × {0})‘𝑘) = 0)
52, 4eqtr4d 2797 . . 3 (𝑘𝑍 → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘))
65rgen 3060 . 2 𝑘𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)
7 seqfn 13027 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn (ℤ𝑀))
81fneq2i 6147 . . . 4 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn (ℤ𝑀))
97, 8sylibr 224 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn 𝑍)
103fconst 6252 . . . 4 (𝑍 × {0}):𝑍⟶{0}
11 ffn 6206 . . . 4 ((𝑍 × {0}):𝑍⟶{0} → (𝑍 × {0}) Fn 𝑍)
1210, 11ax-mp 5 . . 3 (𝑍 × {0}) Fn 𝑍
13 eqfnfv 6475 . . 3 ((seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) Fn 𝑍 ∧ (𝑍 × {0}) Fn 𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}) ↔ ∀𝑘𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)))
149, 12, 13sylancl 697 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}) ↔ ∀𝑘𝑍 (seq𝑀( + , (𝑍 × {0}))‘𝑘) = ((𝑍 × {0})‘𝑘)))
156, 14mpbiri 248 1 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , (𝑍 × {0})) = (𝑍 × {0}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  {csn 4321   × cxp 5264   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  0cc0 10148   + caddc 10151  ℤcz 11589  ℤ≥cuz 11899  seqcseq 13015 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-seq 13016 This theorem is referenced by:  serclim0  14527  ovolctb  23478
 Copyright terms: Public domain W3C validator