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Theorem seqpo 33673
 Description: Two ways to say that a sequence respects a partial order. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
seqpo ((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) → (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑛,𝑠   𝐴,𝑚,𝑛,𝑠   𝑅,𝑚,𝑛,𝑠

Proof of Theorem seqpo
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑚 + 1) → (𝐹𝑝) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
21breq2d 4697 . . . . . . . . 9 (𝑝 = (𝑚 + 1) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝) ↔ (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1))))
32imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝑚 + 1) → ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝)) ↔ (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1)))))
4 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑞 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑞))
54breq2d 4697 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑞 → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝) ↔ (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞)))
65imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑞 → ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝)) ↔ (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞))))
7 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = (𝑞 + 1) → (𝐹𝑝) = (𝐹‘(𝑞 + 1)))
87breq2d 4697 . . . . . . . . 9 (𝑝 = (𝑞 + 1) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝) ↔ (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))
98imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑝 = (𝑞 + 1) → ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝)) ↔ (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
10 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝑛 → (𝐹𝑝) = (𝐹𝑛))
1110breq2d 4697 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑛 → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝) ↔ (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛)))
1211imbi2d 329 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑛 → ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑝)) ↔ (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛))))
13 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑚 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑚))
14 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑚 → (𝑠 + 1) = (𝑚 + 1))
1514fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑚 → (𝐹‘(𝑠 + 1)) = (𝐹‘(𝑚 + 1)))
1613, 15breq12d 4698 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑚 → ((𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ↔ (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1))))
1716rspccva 3339 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1)))
1817adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1)))
1918a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑚 + 1) ∈ ℤ → (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑚 + 1))))
20 peano2nn 11070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
21 elnnuz 11762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 + 1) ∈ ℕ ↔ (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘1))
2220, 21sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘1))
23 uztrn 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) ∧ (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘1)) → 𝑞 ∈ (ℤ‘1))
24 elnnuz 11762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ ℕ ↔ 𝑞 ∈ (ℤ‘1))
2523, 24sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) ∧ (𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘1)) → 𝑞 ∈ ℕ)
2625expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 + 1) ∈ (ℤ‘1) → (𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → 𝑞 ∈ ℕ))
2722, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → 𝑞 ∈ ℕ))
2827imdistani 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ))
29 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 = 𝑞 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑞))
30 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = 𝑞 → (𝑠 + 1) = (𝑞 + 1))
3130fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 = 𝑞 → (𝐹‘(𝑠 + 1)) = (𝐹‘(𝑞 + 1)))
3229, 31breq12d 4698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = 𝑞 → ((𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ↔ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))
3332rspccva 3339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))
3433ad2ant2l 797 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))
3534ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))
36 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:ℕ⟶𝐴𝑚 ∈ ℕ) → (𝐹𝑚) ∈ 𝐴)
3736adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚) ∈ 𝐴)
38 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:ℕ⟶𝐴𝑞 ∈ ℕ) → (𝐹𝑞) ∈ 𝐴)
3938adantrl 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑞) ∈ 𝐴)
40 peano2nn 11070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 + 1) ∈ ℕ)
41 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑞 + 1) ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)
4240, 41sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹:ℕ⟶𝐴𝑞 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)
4342adantrl 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)
4437, 39, 433jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑚) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴))
45 potr 5076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝐹𝑚) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)) → (((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) ∧ (𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))
4645expcomd 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ ((𝐹𝑚) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴)) → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
4746ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 Po 𝐴 → (((𝐹𝑚) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹𝑞) ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘(𝑞 + 1)) ∈ 𝐴) → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))))
4844, 47syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 Po 𝐴 → ((𝐹:ℕ⟶𝐴 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))))
4948expdimp 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))))
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑞)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1))))))
5135, 50mpdd 43 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
5228, 51syl5 34 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
5352expdimp 452 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
5453anasss 680 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
5554com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
5655a2d 29 . . . . . . . 8 (𝑞 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑞)) → (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹‘(𝑞 + 1)))))
573, 6, 9, 12, 19, 56uzind4 11784 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛)))
5857com12 32 . . . . . 6 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1)) → (𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛)))
5958ralrimiv 2994 . . . . 5 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛))
6059anassrs 681 . . . 4 ((((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛))
6160ralrimiva 2995 . . 3 (((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) ∧ ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛))
6261ex 449 . 2 ((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) → (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛)))
63 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑠 → (𝑚 + 1) = (𝑠 + 1))
6463fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑠 → (ℤ‘(𝑚 + 1)) = (ℤ‘(𝑠 + 1)))
65 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑠 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑠))
6665breq1d 4695 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑠 → ((𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛) ↔ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹𝑛)))
6764, 66raleqbidv 3182 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑠 → (∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1))(𝐹𝑠)𝑅(𝐹𝑛)))
6867rspcv 3336 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛) → ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1))(𝐹𝑠)𝑅(𝐹𝑛)))
6968imdistanri 727 . . . 4 ((∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1))(𝐹𝑠)𝑅(𝐹𝑛) ∧ 𝑠 ∈ ℕ))
70 peano2nn 11070 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℕ)
7170nnzd 11519 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
72 uzid 11740 . . . . . 6 ((𝑠 + 1) ∈ ℤ → (𝑠 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1)))
7371, 72syl 17 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1)))
74 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑠 + 1) → (𝐹𝑛) = (𝐹‘(𝑠 + 1)))
7574breq2d 4697 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑠 + 1) → ((𝐹𝑠)𝑅(𝐹𝑛) ↔ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1))))
7675rspccva 3339 . . . . 5 ((∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1))(𝐹𝑠)𝑅(𝐹𝑛) ∧ (𝑠 + 1) ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1))) → (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)))
7773, 76sylan2 490 . . . 4 ((∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 1))(𝐹𝑠)𝑅(𝐹𝑛) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)))
7869, 77syl 17 . . 3 ((∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)))
7978ralrimiva 2995 . 2 (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛) → ∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)))
8062, 79impbid1 215 1 ((𝑅 Po 𝐴𝐹:ℕ⟶𝐴) → (∀𝑠 ∈ ℕ (𝐹𝑠)𝑅(𝐹‘(𝑠 + 1)) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑚 + 1))(𝐹𝑚)𝑅(𝐹𝑛)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   class class class wbr 4685   Po wpo 5062  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975   + caddc 9977  ℕcn 11058  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726 This theorem is referenced by:  incsequz2  33675
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