Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqid3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqid3 13039
 Description: A sequence that consists entirely of "zeroes" sums to "zero". More precisely, a constant sequence with value an element which is a + -idempotent sums (or "+'s") to that element. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqid3.1 (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
seqid3.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seqid3.3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
Assertion
Ref Expression
seqid3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥   𝑥,𝑍   𝑥,𝑁

Proof of Theorem seqid3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqid3.2 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 seqid3.3 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) = 𝑍)
3 fvex 6362 . . . . 5 (𝐹𝑥) ∈ V
43elsn 4336 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ {𝑍} ↔ (𝐹𝑥) = 𝑍)
52, 4sylibr 224 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ {𝑍})
6 seqid3.1 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
7 ovex 6841 . . . . . . 7 (𝑍 + 𝑍) ∈ V
87elsn 4336 . . . . . 6 ((𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍} ↔ (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
96, 8sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → (𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍})
10 elsni 4338 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑍} → 𝑥 = 𝑍)
11 elsni 4338 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑍} → 𝑦 = 𝑍)
1210, 11oveqan12d 6832 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑍 + 𝑍))
1312eleq1d 2824 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍} ↔ (𝑍 + 𝑍) ∈ {𝑍}))
149, 13syl5ibrcom 237 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍}) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍}))
1514imp 444 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ {𝑍} ∧ 𝑦 ∈ {𝑍})) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {𝑍})
161, 5, 15seqcl 13015 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍})
17 elsni 4338 . 2 ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ {𝑍} → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
1816, 17syl 17 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝑍)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {csn 4321  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℤ≥cuz 11879  ...cfz 12519  seqcseq 12995 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-seq 12996 This theorem is referenced by:  seqid  13040  ser0  13047  prodf1  14822  gsumval2  17481  mulgnn0z  17768  gsumval3  18508  lgsval2lem  25231
 Copyright terms: Public domain W3C validator