MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqfeq2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqfeq2 13030
Description: Equality of sequences. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqfveq2.1 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
seqfveq2.2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
seqfeq2.4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
Assertion
Ref Expression
seqfeq2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐾   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem seqfeq2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqfveq2.1 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzel2 11892 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 seqfn 13019 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
41, 2, 33syl 18 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀))
5 uzss 11908 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
61, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀))
7 fnssres 6144 . . 3 ((seq𝑀( + , 𝐹) Fn (ℤ𝑀) ∧ (ℤ𝐾) ⊆ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) Fn (ℤ𝐾))
84, 6, 7syl2anc 565 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) Fn (ℤ𝐾))
9 eluzelz 11897 . . 3 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
10 seqfn 13019 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → seq𝐾( + , 𝐺) Fn (ℤ𝐾))
111, 9, 103syl 18 . 2 (𝜑 → seq𝐾( + , 𝐺) Fn (ℤ𝐾))
12 fvres 6348 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑥) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑥))
1312adantl 467 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑥) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑥))
141adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
15 seqfveq2.2 . . . . 5 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
1615adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐺𝐾))
17 simpr 471 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝐾))
18 elfzuz 12544 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
19 seqfeq2.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2018, 19sylan2 572 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2120adantlr 686 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑥)) → (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
2214, 16, 17, 21seqfveq2 13029 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑥) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑥))
2313, 22eqtrd 2804 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾))‘𝑥) = (seq𝐾( + , 𝐺)‘𝑥))
248, 11, 23eqfnfvd 6457 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝐾)) = seq𝐾( + , 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wss 3721  cres 5251   Fn wfn 6026  cfv 6031  (class class class)co 6792  1c1 10138   + caddc 10140  cz 11578  cuz 11887  ...cfz 12532  seqcseq 13007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-seq 13008
This theorem is referenced by:  seqid  13052
  Copyright terms: Public domain W3C validator