MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqex 12786
Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqex seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-seq 12785 . 2 seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) “ ω)
2 rdgfun 7497 . . 3 Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
3 omex 8525 . . 3 ω ∈ V
4 funimaexg 5963 . . 3 ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
52, 3, 4mp2an 707 . 2 (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
61, 5eqeltri 2695 1 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1988  Vcvv 3195  cop 4174  cima 5107  Fun wfun 5870  cfv 5876  (class class class)co 6635  cmpt2 6637  ωcom 7050  reccrdg 7490  1c1 9922   + caddc 9924  seqcseq 12784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-seq 12785
This theorem is referenced by:  seqshft  13806  clim2ser  14366  clim2ser2  14367  isermulc2  14369  isershft  14375  isercoll  14379  isercoll2  14380  iseralt  14396  fsumcvg  14424  sumrb  14425  isumclim3  14471  isumadd  14479  cvgcmp  14529  cvgcmpce  14531  trireciplem  14575  geolim  14582  geolim2  14583  geo2lim  14587  geomulcvg  14588  geoisum1c  14592  cvgrat  14596  mertens  14599  clim2prod  14601  clim2div  14602  ntrivcvg  14610  ntrivcvgfvn0  14612  ntrivcvgmullem  14614  fprodcvg  14641  prodrblem2  14642  fprodntriv  14653  iprodclim3  14712  iprodmul  14715  efcj  14803  eftlub  14820  eflegeo  14832  rpnnen2lem5  14928  mulgfval  17523  ovoliunnul  23256  ioombl1lem4  23310  vitalilem5  23362  dvnfval  23666  aaliou3lem3  24080  dvradcnv  24156  pserulm  24157  abelthlem6  24171  abelthlem7  24173  abelthlem9  24175  logtayllem  24386  logtayl  24387  atantayl  24645  leibpilem2  24649  leibpi  24650  log2tlbnd  24653  zetacvg  24722  lgamgulm2  24743  lgamcvglem  24747  lgamcvg2  24762  dchrisumlem3  25161  dchrisum0re  25183  esumcvgsum  30124  sseqval  30424  iprodgam  31603  faclim  31607  knoppcnlem6  32463  knoppcnlem9  32466  knoppndvlem4  32481  knoppndvlem6  32483  knoppf  32501  geomcau  33526  dvradcnv2  38366  binomcxplemnotnn0  38375  sumnnodd  39662  stirlinglem5  40058  stirlinglem7  40060  fourierdlem112  40198  sge0isum  40407
  Copyright terms: Public domain W3C validator