MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqcl 13027
Description: Closure properties of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcl.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seqcl.2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seqcl.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
seqcl (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, +   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑦)

Proof of Theorem seqcl
StepHypRef Expression
1 fveq2 6332 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
21eleq1d 2834 . . 3 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑀) ∈ 𝑆))
3 seqcl.2 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
43ralrimiva 3114 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
5 seqcl.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6 eluzfz1 12554 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
75, 6syl 17 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
82, 4, 7rspcdva 3464 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆)
9 seqcl.3 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
10 eluzel2 11892 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
115, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 fzp1ss 12598 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
1311, 12syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
1413sselda 3750 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
1514, 3syldan 571 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
168, 9, 5, 15seqcl2 13025 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wss 3721  cfv 6031  (class class class)co 6792  1c1 10138   + caddc 10140  cz 11578  cuz 11887  ...cfz 12532  seqcseq 13007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-seq 13008
This theorem is referenced by:  sermono  13039  seqsplit  13040  seqcaopr2  13043  seqf1olem2a  13045  seqf1olem2  13047  seqid3  13051  seqhomo  13054  seqz  13055  seqdistr  13058  serge0  13061  serle  13062  seqof  13064  seqcoll  13449  seqcoll2  13450  fsumcl2lem  14669  prodfn0  14832  prodfrec  14833  prodfdiv  14834  fprodcl2lem  14886  eulerthlem2  15693  gsumwsubmcl  17582  mulgnnsubcl  17760  gsumzcl2  18517  gsumzaddlem  18527  gsummptfzcl  18574  lgscllem  25249  lgsval4a  25264  lgsneg  25266  lgsdir  25277  lgsdilem2  25278  lgsdi  25279  lgsne0  25280  gsumncl  30948  faclim  31964  knoppcnlem8  32821  mblfinlem2  33773  fmul01  40324  fmulcl  40325  fmuldfeq  40327  fmul01lt1lem1  40328  fmul01lt1lem2  40329  stoweidlem3  40731  stoweidlem42  40770  stoweidlem48  40776  wallispilem4  40796  wallispi  40798  wallispi2lem1  40799  wallispi2  40801  stirlinglem5  40806  stirlinglem7  40808  stirlinglem10  40811  sge0isum  41155
  Copyright terms: Public domain W3C validator