Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sdrgacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdrgacs 38265
Description: Closure property of division subrings. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgacs.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
sdrgacs (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem sdrgacs
Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2752 . . . . . . . 8 (invr𝑅) = (invr𝑅)
2 eqid 2752 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
31, 2issdrg2 38262 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
4 3anass 1081 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
53, 4bitri 264 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
65baib 982 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
7 subrgacs.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑅)
87subrgss 18975 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑠𝐵)
9 selpw 4301 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
108, 9sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
1110adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
12 iftrue 4228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (0g𝑅) → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) = 𝑥)
1312eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (0g𝑅) → (if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦𝑥𝑦))
1413biimprd 238 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (0g𝑅) → (𝑥𝑦 → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦))
15 eldifsni 4458 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) → 𝑥 ≠ (0g𝑅))
1615necon2bi 2954 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (0g𝑅) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}))
1716pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (0g𝑅) → (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
1814, 172thd 255 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (0g𝑅) → ((𝑥𝑦 → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)))
19 eldifsn 4454 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) ↔ (𝑥𝑦𝑥 ≠ (0g𝑅)))
2019rbaibr 984 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ≠ (0g𝑅) → (𝑥𝑦𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)})))
21 ifnefalse 4234 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ≠ (0g𝑅) → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) = ((invr𝑅)‘𝑥))
2221eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ≠ (0g𝑅) → (if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
2320, 22imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ≠ (0g𝑅) → ((𝑥𝑦 → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)))
2418, 23pm2.61ine 3007 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑦 → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦))
2524ralbii2 3108 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦)
26 difeq1 3856 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑠 → (𝑦 ∖ {(0g𝑅)}) = (𝑠 ∖ {(0g𝑅)}))
27 eleq2w 2815 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑠 → (((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
2826, 27raleqbidv 3283 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ (𝑦 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
2925, 28syl5bb 272 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
3029elrab3 3497 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
3111, 30syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅)) → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠))
3231pm5.32da 676 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑠 ∖ {(0g𝑅)})((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
336, 32bitr4d 271 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦})))
34 elin 3931 . . . 4 (𝑠 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}))
3533, 34syl6bbr 278 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑠 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ 𝑠 ∈ ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦})))
3635eqrdv 2750 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) = ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}))
37 fvex 6354 . . . . 5 (Base‘𝑅) ∈ V
387, 37eqeltri 2827 . . . 4 𝐵 ∈ V
39 mreacs 16512 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
4038, 39mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
41 drngring 18948 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
427subrgacs 38264 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
4341, 42syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
44 simplr 809 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥 = (0g𝑅)) → 𝑥𝐵)
45 df-ne 2925 . . . . . . 7 (𝑥 ≠ (0g𝑅) ↔ ¬ 𝑥 = (0g𝑅))
467, 2, 1drnginvrcl 18958 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵𝑥 ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
47463expa 1111 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ 𝑥 ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
4845, 47sylan2br 494 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵) ∧ ¬ 𝑥 = (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘𝑥) ∈ 𝐵)
4944, 48ifclda 4256 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑥𝐵) → if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵)
5049ralrimiva 3096 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → ∀𝑥𝐵 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵)
51 acsfn1 16515 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝐵) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
5238, 50, 51sylancr 698 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
53 mreincl 16453 . . 3 (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
5440, 43, 52, 53syl3anc 1473 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → ((SubRing‘𝑅) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 if(𝑥 = (0g𝑅), 𝑥, ((invr𝑅)‘𝑥)) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
5536, 54eqeltrd 2831 1 (𝑅 ∈ DivRing → (SubDRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wral 3042  {crab 3046  Vcvv 3332  cdif 3704  cin 3706  wss 3707  ifcif 4222  𝒫 cpw 4294  {csn 4313  cfv 6041  Basecbs 16051  0gc0g 16294  Moorecmre 16436  ACScacs 16439  Ringcrg 18739  invrcinvr 18863  DivRingcdr 18941  SubRingcsubrg 18970  SubDRingcsdrg 38259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-tpos 7513  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-0g 16296  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-subg 17784  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-oppr 18815  df-dvdsr 18833  df-unit 18834  df-invr 18864  df-drng 18943  df-subrg 18972  df-sdrg 38260
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator