MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdomentr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdomentr 8135
Description: Transitivity of strict dominance and equinumerosity. Exercise 11 of [Suppes] p. 98. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
sdomentr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem sdomentr
StepHypRef Expression
1 endom 8024 . 2 (𝐵𝐶𝐵𝐶)
2 sdomdomtr 8134 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan2 490 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   class class class wbr 4685  cen 7994  cdom 7995  csdm 7996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000
This theorem is referenced by:  sdomen2  8146  unxpdom2  8209  sucxpdom  8210  findcard3  8244  fofinf1o  8282  sdomsdomcardi  8835  cardsdomel  8838  cardmin2  8862  alephnbtwn2  8933  pwsdompw  9064  infdif2  9070  fin23lem27  9188  axcclem  9317  numthcor  9354  sdomsdomcard  9420  pwcfsdom  9443  cfpwsdom  9444  inawinalem  9549  inatsk  9638  r1tskina  9642  tskuni  9643  rucALT  15003  iunmbl2  23371  dirith2  25262  erdszelem10  31308  mblfinlem1  33576  pellex  37716  rp-isfinite6  38181
  Copyright terms: Public domain W3C validator