Theorem sdomdif 8264

Description: The difference of a set from a smaller set cannot be empty. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sdomdif	⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝐵 ∖ 𝐴) ≠ ∅)

Proof of Theorem sdomdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsdom 8116	. . . . . 6 ⊢ Rel ≺
2	1	brrelexi 5298	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		ssdif0 4089	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ∖ 𝐴) = ∅)
4		ssdomg 8155	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ≼ 𝐴))
5		domnsym 8242	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵)
6	4, 5	syl6 35	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐵 ⊆ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
7	3, 6	syl5bir 233	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((𝐵 ∖ 𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ((𝐵 ∖ 𝐴) = ∅ → ¬ 𝐴 ≺ 𝐵))
9	8	con2d 131	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ (𝐵 ∖ 𝐴) = ∅))
10	9	pm2.43i 52	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ (𝐵 ∖ 𝐴) = ∅)
11	10	neqned 2950	1 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → (𝐵 ∖ 𝐴) ≠ ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  Vcvv 3351   ∖ cdif 3720   ⊆ wss 3723  ∅c0 4063   class class class wbr 4786   ≼ cdom 8107   ≺ csdm 8108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112

This theorem is referenced by:  domtriomlem  9466  konigthlem  9592  odcau  18226