MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdom1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdom1 8157
Description: A set has less than one member iff it is empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
sdom1 (𝐴 ≺ 1𝑜𝐴 = ∅)

Proof of Theorem sdom1
StepHypRef Expression
1 domnsym 8083 . . . . 5 (1𝑜𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 1𝑜)
21con2i 134 . . . 4 (𝐴 ≺ 1𝑜 → ¬ 1𝑜𝐴)
3 0sdom1dom 8155 . . . 4 (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1𝑜𝐴)
42, 3sylnibr 319 . . 3 (𝐴 ≺ 1𝑜 → ¬ ∅ ≺ 𝐴)
5 relsdom 7959 . . . . 5 Rel ≺
65brrelexi 5156 . . . 4 (𝐴 ≺ 1𝑜𝐴 ∈ V)
7 0sdomg 8086 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
87necon2bbid 2836 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
96, 8syl 17 . . 3 (𝐴 ≺ 1𝑜 → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
104, 9mpbird 247 . 2 (𝐴 ≺ 1𝑜𝐴 = ∅)
11 1n0 7572 . . . 4 1𝑜 ≠ ∅
12 1on 7564 . . . . . 6 1𝑜 ∈ On
1312elexi 3211 . . . . 5 1𝑜 ∈ V
14130sdom 8088 . . . 4 (∅ ≺ 1𝑜 ↔ 1𝑜 ≠ ∅)
1511, 14mpbir 221 . . 3 ∅ ≺ 1𝑜
16 breq1 4654 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 1𝑜 ↔ ∅ ≺ 1𝑜))
1715, 16mpbiri 248 . 2 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 1𝑜)
1810, 17impbii 199 1 (𝐴 ≺ 1𝑜𝐴 = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793  Vcvv 3198  c0 3913   class class class wbr 4651  Oncon0 5721  1𝑜c1o 7550  cdom 7950  csdm 7951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-om 7063  df-1o 7557  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955
This theorem is referenced by:  modom  8158  frgpcyg  19916
  Copyright terms: Public domain W3C validator