MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sdom1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdom1 8316
Description: A set has less than one member iff it is empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
sdom1 (𝐴 ≺ 1𝑜𝐴 = ∅)

Proof of Theorem sdom1
StepHypRef Expression
1 domnsym 8242 . . . . 5 (1𝑜𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 1𝑜)
21con2i 136 . . . 4 (𝐴 ≺ 1𝑜 → ¬ 1𝑜𝐴)
3 0sdom1dom 8314 . . . 4 (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1𝑜𝐴)
42, 3sylnibr 318 . . 3 (𝐴 ≺ 1𝑜 → ¬ ∅ ≺ 𝐴)
5 relsdom 8116 . . . . 5 Rel ≺
65brrelexi 5298 . . . 4 (𝐴 ≺ 1𝑜𝐴 ∈ V)
7 0sdomg 8245 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
87necon2bbid 2986 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
96, 8syl 17 . . 3 (𝐴 ≺ 1𝑜 → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
104, 9mpbird 247 . 2 (𝐴 ≺ 1𝑜𝐴 = ∅)
11 1n0 7729 . . . 4 1𝑜 ≠ ∅
12 1oex 7721 . . . . 5 1𝑜 ∈ V
13120sdom 8247 . . . 4 (∅ ≺ 1𝑜 ↔ 1𝑜 ≠ ∅)
1411, 13mpbir 221 . . 3 ∅ ≺ 1𝑜
15 breq1 4789 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 1𝑜 ↔ ∅ ≺ 1𝑜))
1614, 15mpbiri 248 . 2 (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 1𝑜)
1710, 16impbii 199 1 (𝐴 ≺ 1𝑜𝐴 = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  c0 4063   class class class wbr 4786  1𝑜c1o 7706  cdom 8107  csdm 8108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7213  df-1o 7713  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112
This theorem is referenced by:  modom  8317  frgpcyg  20137
  Copyright terms: Public domain W3C validator