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Theorem scvxcvx 24757
Description: A strictly convex function is convex. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
scvxcvx.1 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
scvxcvx.2 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
scvxcvx.3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐷𝑏𝐷)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ 𝐷)
scvxcvx.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))
Assertion
Ref Expression
scvxcvx ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) ≤ ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦,𝐷   𝜑,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑌,𝑎,𝑏,𝑡,𝑥,𝑦   𝑡,𝐹,𝑥,𝑦   𝑡,𝑇
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem scvxcvx
StepHypRef Expression
1 scvxcvx.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
21adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐷 ⊆ ℝ)
3 simpr1 1087 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑋𝐷)
42, 3sseldd 3637 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑋 ∈ ℝ)
54adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
6 simpr2 1088 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑌𝐷)
72, 6sseldd 3637 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑌 ∈ ℝ)
87adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → 𝑌 ∈ ℝ)
95, 8lttri4d 10216 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌𝑌 < 𝑋))
10 simprl 809 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → 𝑇 ∈ (0(,)1))
113adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → 𝑋𝐷)
126adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → 𝑌𝐷)
1311, 12jca 553 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → (𝑋𝐷𝑌𝐷))
14 simprr 811 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → 𝑋 < 𝑌)
15 simpll 805 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → 𝜑)
16 breq1 4688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 < 𝑦𝑋 < 𝑦))
17 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → (𝑡 · 𝑥) = (𝑡 · 𝑋))
1817oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
1918fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
20 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑋 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑋))
2120oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑋 → (𝑡 · (𝐹𝑥)) = (𝑡 · (𝐹𝑋)))
2221oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) = ((𝑡 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))
2319, 22breq12d 4698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) ↔ (𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))))
2423ralbidv 3015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) ↔ ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))))
2524imbi2d 329 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑋 → ((𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))))
2616, 25imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))) ↔ (𝑋 < 𝑦 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))))))
27 breq2 4689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 < 𝑦𝑋 < 𝑌))
28 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑌 → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · 𝑌))
2928oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌)))
3029fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑌 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))))
31 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑌 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑌))
3231oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑌 → ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)) = ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑌)))
3332oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑡 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) = ((𝑡 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑌))))
3430, 33breq12d 4698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑌 → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) ↔ (𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑌)))))
3534ralbidv 3015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑌 → (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) ↔ ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑌)))))
3635imbi2d 329 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑌 → ((𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑌))))))
3727, 36imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑌 → ((𝑋 < 𝑦 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))) ↔ (𝑋 < 𝑌 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑌)))))))
38 scvxcvx.4 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷𝑥 < 𝑦) ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))
39383expia 1286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷𝑥 < 𝑦)) → (𝑡 ∈ (0(,)1) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))))
4039ralrimiv 2994 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷𝑥 < 𝑦)) → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))
4140expcom 450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐷𝑦𝐷𝑥 < 𝑦) → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))))
42413expia 1286 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 < 𝑦 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))))
4326, 37, 42vtocl2ga 3305 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝐷𝑌𝐷) → (𝑋 < 𝑌 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑌))))))
4413, 14, 15, 43syl3c 66 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑌))))
45 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 · 𝑋) = (𝑇 · 𝑋))
46 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝑇 → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑇))
4746oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑇 → ((1 − 𝑡) · 𝑌) = ((1 − 𝑇) · 𝑌))
4845, 47oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌)) = ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))
4948fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑇 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) = (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))))
50 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 · (𝐹𝑋)) = (𝑇 · (𝐹𝑋)))
5146oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑇 → ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑌)) = ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)))
5250, 51oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))))
5349, 52breq12d 4698 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑇 → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑌))) ↔ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)))))
5453rspcv 3336 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (0(,)1) → (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑋) + ((1 − 𝑡) · 𝑌))) < ((𝑡 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑌))) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)))))
5510, 44, 54sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))))
5655orcd 406 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑋 < 𝑌)) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)))))
5756expr 642 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑋 < 𝑌 → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))))))
58 unitssre 12357 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]1) ⊆ ℝ
59 simpr3 1089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
6058, 59sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℝ)
6160recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ℂ)
62 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
63 pncan3 10327 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
6461, 62, 63sylancl 695 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 + (1 − 𝑇)) = 1)
6564oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑌) = (1 · 𝑌))
66 subcl 10318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
6762, 61, 66sylancr 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
687recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑌 ∈ ℂ)
6961, 67, 68adddird 10103 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · 𝑌) = ((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))
7068mulid2d 10096 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · 𝑌) = 𝑌)
7165, 69, 703eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = 𝑌)
7271fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = (𝐹𝑌))
7364oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹𝑌)) = (1 · (𝐹𝑌)))
74 scvxcvx.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
7574adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
7675, 6ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ)
7776recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹𝑌) ∈ ℂ)
7861, 67, 77adddird 10103 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 + (1 − 𝑇)) · (𝐹𝑌)) = ((𝑇 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))))
7977mulid2d 10096 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · (𝐹𝑌)) = (𝐹𝑌))
8073, 78, 793eqtr3d 2693 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) = (𝐹𝑌))
8172, 80eqtr4d 2688 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))))
8281adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))))
83 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = 𝑌 → (𝑇 · 𝑋) = (𝑇 · 𝑌))
8483oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = 𝑌 → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = ((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))
8584fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑋 = 𝑌 → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = (𝐹‘((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))))
86 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = 𝑌 → (𝐹𝑋) = (𝐹𝑌))
8786oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = 𝑌 → (𝑇 · (𝐹𝑋)) = (𝑇 · (𝐹𝑌)))
8887oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝑋 = 𝑌 → ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))))
8985, 88eqeq12d 2666 . . . . . . . 8 (𝑋 = 𝑌 → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) ↔ (𝐹‘((𝑇 · 𝑌) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)))))
9082, 89syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑋 = 𝑌 → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)))))
91 olc 398 . . . . . . 7 ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)))))
9290, 91syl6 35 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑋 = 𝑌 → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))))))
93 1re 10077 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
94 elioore 12243 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ (0(,)1) → 𝑇 ∈ ℝ)
95 resubcl 10383 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
9693, 94, 95sylancr 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (0(,)1) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
97 eliooord 12271 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑇𝑇 < 1))
9897simprd 478 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ (0(,)1) → 𝑇 < 1)
99 posdif 10559 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑇 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝑇)))
10094, 93, 99sylancl 695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ (0(,)1) → (𝑇 < 1 ↔ 0 < (1 − 𝑇)))
10198, 100mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (0(,)1) → 0 < (1 − 𝑇))
10297simpld 474 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ (0(,)1) → 0 < 𝑇)
103 ltsubpos 10558 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 𝑇 ↔ (1 − 𝑇) < 1))
10494, 93, 103sylancl 695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑇 ↔ (1 − 𝑇) < 1))
105102, 104mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (0(,)1) → (1 − 𝑇) < 1)
106 0xr 10124 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
10793rexri 10135 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ*
108 elioo2 12254 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 − 𝑇) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇) ∧ (1 − 𝑇) < 1)))
109106, 107, 108mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 ((1 − 𝑇) ∈ (0(,)1) ↔ ((1 − 𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 − 𝑇) ∧ (1 − 𝑇) < 1))
11096, 101, 105, 109syl3anbrc 1265 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (0(,)1) → (1 − 𝑇) ∈ (0(,)1))
111110ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → (1 − 𝑇) ∈ (0(,)1))
1126adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → 𝑌𝐷)
1133adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → 𝑋𝐷)
114112, 113jca 553 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → (𝑌𝐷𝑋𝐷))
115 simprr 811 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → 𝑌 < 𝑋)
116 simpll 805 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → 𝜑)
117 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 < 𝑦𝑌 < 𝑦))
118 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑌 → (𝑡 · 𝑥) = (𝑡 · 𝑌))
119118oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)))
120119fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑌 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))))
121 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑌 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑌))
122121oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑌 → (𝑡 · (𝐹𝑥)) = (𝑡 · (𝐹𝑌)))
123122oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) = ((𝑡 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))
124120, 123breq12d 4698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑌 → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) ↔ (𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))))
125124ralbidv 3015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑌 → (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) ↔ ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))))
126125imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑌 → ((𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))))
127117, 126imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑥) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑥)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))) ↔ (𝑌 < 𝑦 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))))))
128 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋 → (𝑌 < 𝑦𝑌 < 𝑋))
129 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑋 → ((1 − 𝑡) · 𝑦) = ((1 − 𝑡) · 𝑋))
130129oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦)) = ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋)))
131130fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑋 → (𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) = (𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))))
132 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑋 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑋))
133132oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑋 → ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)) = ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑋)))
134133oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑡 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) = ((𝑡 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑋))))
135131, 134breq12d 4698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑋 → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) ↔ (𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑋)))))
136135ralbidv 3015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑋 → (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))) ↔ ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑋)))))
137136imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋 → ((𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑋))))))
138128, 137imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑋 → ((𝑌 < 𝑦 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑦))) < ((𝑡 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑦))))) ↔ (𝑌 < 𝑋 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑋)))))))
139127, 138, 42vtocl2ga 3305 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌𝐷𝑋𝐷) → (𝑌 < 𝑋 → (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑋))))))
140114, 115, 116, 139syl3c 66 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → ∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑋))))
141 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = (1 − 𝑇) → (𝑡 · 𝑌) = ((1 − 𝑇) · 𝑌))
142 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = (1 − 𝑇) → (1 − 𝑡) = (1 − (1 − 𝑇)))
143142oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = (1 − 𝑇) → ((1 − 𝑡) · 𝑋) = ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋))
144141, 143oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = (1 − 𝑇) → ((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋)) = (((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋)))
145144fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (1 − 𝑇) → (𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) = (𝐹‘(((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋))))
146 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = (1 − 𝑇) → (𝑡 · (𝐹𝑌)) = ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)))
147142oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = (1 − 𝑇) → ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑋)) = ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹𝑋)))
148146, 147oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = (1 − 𝑇) → ((𝑡 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑋))) = (((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)) + ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹𝑋))))
149145, 148breq12d 4698 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (1 − 𝑇) → ((𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑋))) ↔ (𝐹‘(((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)) + ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹𝑋)))))
150149rspcv 3336 . . . . . . . . . 10 ((1 − 𝑇) ∈ (0(,)1) → (∀𝑡 ∈ (0(,)1)(𝐹‘((𝑡 · 𝑌) + ((1 − 𝑡) · 𝑋))) < ((𝑡 · (𝐹𝑌)) + ((1 − 𝑡) · (𝐹𝑋))) → (𝐹‘(((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)) + ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹𝑋)))))
151111, 140, 150sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → (𝐹‘(((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋))) < (((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)) + ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹𝑋))))
152 nncan 10348 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
15362, 61, 152sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − (1 − 𝑇)) = 𝑇)
154153oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋) = (𝑇 · 𝑋))
155154oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋)) = (((1 − 𝑇) · 𝑌) + (𝑇 · 𝑋)))
15693, 60, 95sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
157156, 7remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · 𝑌) ∈ ℝ)
158157recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · 𝑌) ∈ ℂ)
15960, 4remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · 𝑋) ∈ ℝ)
160159recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · 𝑋) ∈ ℂ)
161158, 160addcomd 10276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · 𝑌) + (𝑇 · 𝑋)) = ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))
162155, 161eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋)) = ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))
163162adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → (((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋)) = ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)))
164163fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → (𝐹‘(((1 − 𝑇) · 𝑌) + ((1 − (1 − 𝑇)) · 𝑋))) = (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))))
165153oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹𝑋)) = (𝑇 · (𝐹𝑋)))
166165oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)) + ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹𝑋))) = (((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)) + (𝑇 · (𝐹𝑋))))
167156, 76remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)) ∈ ℝ)
168167recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)) ∈ ℂ)
16975, 3ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
17060, 169remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · (𝐹𝑋)) ∈ ℝ)
171170recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 · (𝐹𝑋)) ∈ ℂ)
172168, 171addcomd 10276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)) + (𝑇 · (𝐹𝑋))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))))
173166, 172eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)) + ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹𝑋))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))))
174173adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → (((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)) + ((1 − (1 − 𝑇)) · (𝐹𝑋))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))))
175151, 164, 1743brtr3d 4716 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))))
176175orcd 406 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∧ 𝑌 < 𝑋)) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)))))
177176expr 642 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → (𝑌 < 𝑋 → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))))))
17857, 92, 1773jaod 1432 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝑋 < 𝑌𝑋 = 𝑌𝑌 < 𝑋) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))))))
1799, 178mpd 15 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) ∧ 𝑇 ∈ (0(,)1)) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)))))
180179ex 449 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 ∈ (0(,)1) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))))))
181 elpri 4230 . . . 4 (𝑇 ∈ {0, 1} → (𝑇 = 0 ∨ 𝑇 = 1))
18277addid2d 10275 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 + (𝐹𝑌)) = (𝐹𝑌))
183169recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
184183mul02d 10272 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 · (𝐹𝑋)) = 0)
185184, 79oveq12d 6708 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((0 · (𝐹𝑋)) + (1 · (𝐹𝑌))) = (0 + (𝐹𝑌)))
1864recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑋 ∈ ℂ)
187186mul02d 10272 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 · 𝑋) = 0)
188187, 70oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((0 · 𝑋) + (1 · 𝑌)) = (0 + 𝑌))
18968addid2d 10275 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 + 𝑌) = 𝑌)
190188, 189eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((0 · 𝑋) + (1 · 𝑌)) = 𝑌)
191190fveq2d 6233 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((0 · 𝑋) + (1 · 𝑌))) = (𝐹𝑌))
192182, 185, 1913eqtr4rd 2696 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((0 · 𝑋) + (1 · 𝑌))) = ((0 · (𝐹𝑋)) + (1 · (𝐹𝑌))))
193 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑇 = 0 → (𝑇 · 𝑋) = (0 · 𝑋))
194 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = (1 − 0))
195 1m0e1 11169 . . . . . . . . . . 11 (1 − 0) = 1
196194, 195syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = 1)
197196oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝑇 = 0 → ((1 − 𝑇) · 𝑌) = (1 · 𝑌))
198193, 197oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝑇 = 0 → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = ((0 · 𝑋) + (1 · 𝑌)))
199198fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑇 = 0 → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = (𝐹‘((0 · 𝑋) + (1 · 𝑌))))
200 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑇 = 0 → (𝑇 · (𝐹𝑋)) = (0 · (𝐹𝑋)))
201196oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝑇 = 0 → ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)) = (1 · (𝐹𝑌)))
202200, 201oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑇 = 0 → ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) = ((0 · (𝐹𝑋)) + (1 · (𝐹𝑌))))
203199, 202eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑇 = 0 → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) ↔ (𝐹‘((0 · 𝑋) + (1 · 𝑌))) = ((0 · (𝐹𝑋)) + (1 · (𝐹𝑌)))))
204192, 203syl5ibrcom 237 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 = 0 → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)))))
205183addid1d 10274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝐹𝑋) + 0) = (𝐹𝑋))
206183mulid2d 10096 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋))
20777mul02d 10272 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 · (𝐹𝑌)) = 0)
208206, 207oveq12d 6708 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 · (𝐹𝑋)) + (0 · (𝐹𝑌))) = ((𝐹𝑋) + 0))
209186mulid2d 10096 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (1 · 𝑋) = 𝑋)
21068mul02d 10272 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (0 · 𝑌) = 0)
211209, 210oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 · 𝑋) + (0 · 𝑌)) = (𝑋 + 0))
212186addid1d 10274 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑋 + 0) = 𝑋)
213211, 212eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((1 · 𝑋) + (0 · 𝑌)) = 𝑋)
214213fveq2d 6233 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((1 · 𝑋) + (0 · 𝑌))) = (𝐹𝑋))
215205, 208, 2143eqtr4rd 2696 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((1 · 𝑋) + (0 · 𝑌))) = ((1 · (𝐹𝑋)) + (0 · (𝐹𝑌))))
216 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑇 = 1 → (𝑇 · 𝑋) = (1 · 𝑋))
217 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 = 1 → (1 − 𝑇) = (1 − 1))
218 1m1e0 11127 . . . . . . . . . . 11 (1 − 1) = 0
219217, 218syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 (𝑇 = 1 → (1 − 𝑇) = 0)
220219oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝑇 = 1 → ((1 − 𝑇) · 𝑌) = (0 · 𝑌))
221216, 220oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝑇 = 1 → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) = ((1 · 𝑋) + (0 · 𝑌)))
222221fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝑇 = 1 → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = (𝐹‘((1 · 𝑋) + (0 · 𝑌))))
223 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑇 = 1 → (𝑇 · (𝐹𝑋)) = (1 · (𝐹𝑋)))
224219oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝑇 = 1 → ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)) = (0 · (𝐹𝑌)))
225223, 224oveq12d 6708 . . . . . . 7 (𝑇 = 1 → ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) = ((1 · (𝐹𝑋)) + (0 · (𝐹𝑌))))
226222, 225eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑇 = 1 → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) ↔ (𝐹‘((1 · 𝑋) + (0 · 𝑌))) = ((1 · (𝐹𝑋)) + (0 · (𝐹𝑌)))))
227215, 226syl5ibrcom 237 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 = 1 → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)))))
228204, 227jaod 394 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 = 0 ∨ 𝑇 = 1) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)))))
229181, 228, 91syl56 36 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 ∈ {0, 1} → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))))))
230 0le1 10589 . . . . . 6 0 ≤ 1
231 prunioo 12339 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 1) → ((0(,)1) ∪ {0, 1}) = (0[,]1))
232106, 107, 230, 231mp3an 1464 . . . . 5 ((0(,)1) ∪ {0, 1}) = (0[,]1)
23359, 232syl6eleqr 2741 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → 𝑇 ∈ ((0(,)1) ∪ {0, 1}))
234 elun 3786 . . . 4 (𝑇 ∈ ((0(,)1) ∪ {0, 1}) ↔ (𝑇 ∈ (0(,)1) ∨ 𝑇 ∈ {0, 1}))
235233, 234sylib 208 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝑇 ∈ (0(,)1) ∨ 𝑇 ∈ {0, 1}))
236180, 229, 235mpjaod 395 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌)))))
237 scvxcvx.3 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐷𝑏𝐷)) → (𝑎[,]𝑏) ⊆ 𝐷)
2381, 237cvxcl 24756 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌)) ∈ 𝐷)
23975, 238ffvelrnd 6400 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) ∈ ℝ)
240170, 167readdcld 10107 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) ∈ ℝ)
241239, 240leloed 10218 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) ≤ ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) ↔ ((𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) < ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))) ∨ (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) = ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))))))
242236, 241mpbird 247 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑇 ∈ (0[,]1))) → (𝐹‘((𝑇 · 𝑋) + ((1 − 𝑇) · 𝑌))) ≤ ((𝑇 · (𝐹𝑋)) + ((1 − 𝑇) · (𝐹𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3o 1053  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  cun 3605  wss 3607  {cpr 4212   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220
This theorem is referenced by:  amgmlem  24761  amgmwlem  42876
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