MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  scmatsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem scmatsubcl 20547
Description: The difference of two scalar matrices is a scalar matrix. (Contributed by AV, 20-Aug-2019.) (Revised by AV, 19-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatid.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatid.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatid.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
scmatid.0 0 = (0g𝑅)
scmatid.s 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmatsubcl (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem scmatsubcl
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatid.e . . . . 5 𝐸 = (Base‘𝑅)
2 scmatid.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 scmatid.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2769 . . . . 5 (1r𝐴) = (1r𝐴)
5 eqid 2769 . . . . 5 ( ·𝑠𝐴) = ( ·𝑠𝐴)
6 scmatid.s . . . . 5 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 20536 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝑆) → ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
873expa 1109 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑋𝑆) → ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
98adantrr 752 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → ∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
101, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 20536 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝑆) → ∃𝑑𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
11103expia 1112 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑌𝑆 → ∃𝑑𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
12 oveq12 6800 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
1312adantl 474 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) = ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
14 eqid 2769 . . . . . . . . . . . . . 14 (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘𝐴)
15 eqid 2769 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘(Scalar‘𝐴)) = (Base‘(Scalar‘𝐴))
16 eqid 2769 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g𝐴) = (-g𝐴)
17 eqid 2769 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g‘(Scalar‘𝐴)) = (-g‘(Scalar‘𝐴))
182matlmod 20458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ LMod)
1918ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝐴 ∈ LMod)
202matsca2 20449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝐴))
2120fveq2d 6335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
221, 21syl5eq 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐸 = (Base‘(Scalar‘𝐴)))
2322eleq2d 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑐𝐸𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
2423biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑐𝐸𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
2524adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) → (𝑐𝐸𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
2625imp 443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝑐 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
2722eleq2d 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑑𝐸𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴))))
2827biimpa 503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) → 𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
2928adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝑑 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐴)))
302matring 20472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
313, 4ringidcl 18782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
3332ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
343, 5, 14, 15, 16, 17, 19, 26, 29, 33lmodsubdir 19137 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
3534eqcomd 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
36 simpll 804 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
3720eqcomd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
3837ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (Scalar‘𝐴) = 𝑅)
3938fveq2d 6335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (-g‘(Scalar‘𝐴)) = (-g𝑅))
4039oveqd 6808 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) = (𝑐(-g𝑅)𝑑))
41 ringgrp 18766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4241adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Grp)
4342ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝑅 ∈ Grp)
44 simpr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝑐𝐸)
45 simplr 806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → 𝑑𝐸)
46 eqid 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-g𝑅) = (-g𝑅)
471, 46grpsubcl 17709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑐𝐸𝑑𝐸) → (𝑐(-g𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
4843, 44, 45, 47syl3anc 1474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑐(-g𝑅)𝑑) ∈ 𝐸)
4940, 48eqeltrd 2848 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) ∈ 𝐸)
501, 2, 3, 5matvscl 20460 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) ∈ 𝐸 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵)) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
5136, 49, 33, 50syl12anc 1472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵)
52 oveq1 6798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) → (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
5352eqeq2d 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
5453adantl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) ∧ 𝑒 = (𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ↔ ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))))
55 eqidd 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
5649, 54, 55rspcedvd 3464 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ∃𝑒𝐸 ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))
571, 2, 3, 4, 5, 6scmatel 20535 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒𝐸 ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))))
5857ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆 ↔ (((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑒𝐸 ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) = (𝑒( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))))
5951, 56, 58mpbir2and 992 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐(-g‘(Scalar‘𝐴))𝑑)( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∈ 𝑆)
6035, 59eqeltrd 2848 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) ∈ 𝑆)
6160adantr 473 . . . . . . . . . 10 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))) → ((𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))(-g𝐴)(𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴))) ∈ 𝑆)
6213, 61eqeltrd 2848 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) ∧ (𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) ∧ 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)))) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)
6362exp32 631 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) ∧ 𝑐𝐸) → (𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6463rexlimdva 3177 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6564com23 86 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑑𝐸) → (𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6665rexlimdva 3177 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑑𝐸 𝑌 = (𝑑( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6711, 66syldc 48 . . . 4 (𝑌𝑆 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6867adantl 474 . . 3 ((𝑋𝑆𝑌𝑆) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)))
6968impcom 444 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → (∃𝑐𝐸 𝑋 = (𝑐( ·𝑠𝐴)(1r𝐴)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆))
709, 69mpd 15 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑋𝑆𝑌𝑆)) → (𝑋(-g𝐴)𝑌) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1629  wcel 2143  wrex 3060  cfv 6030  (class class class)co 6791  Fincfn 8107  Basecbs 16070  Scalarcsca 16158   ·𝑠 cvsca 16159  0gc0g 16314  Grpcgrp 17636  -gcsg 17638  1rcur 18715  Ringcrg 18761  LModclmod 19079   Mat cmat 20436   ScMat cscmat 20519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-ot 4322  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-iin 4654  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-se 5208  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-of 7042  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-ixp 8061  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fsupp 8430  df-sup 8502  df-oi 8569  df-card 8963  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13009  df-hash 13325  df-struct 16072  df-ndx 16073  df-slot 16074  df-base 16076  df-sets 16077  df-ress 16078  df-plusg 16168  df-mulr 16169  df-sca 16171  df-vsca 16172  df-ip 16173  df-tset 16174  df-ple 16175  df-ds 16178  df-hom 16180  df-cco 16181  df-0g 16316  df-gsum 16317  df-prds 16322  df-pws 16324  df-mre 16460  df-mrc 16461  df-acs 16463  df-mgm 17456  df-sgrp 17498  df-mnd 17509  df-mhm 17549  df-submnd 17550  df-grp 17639  df-minusg 17640  df-sbg 17641  df-mulg 17755  df-subg 17805  df-ghm 17872  df-cntz 17963  df-cmn 18408  df-abl 18409  df-mgp 18704  df-ur 18716  df-ring 18763  df-subrg 18994  df-lmod 19081  df-lss 19149  df-sra 19393  df-rgmod 19394  df-dsmm 20299  df-frlm 20314  df-mamu 20413  df-mat 20437  df-scmat 20521
This theorem is referenced by:  scmatsgrp  20549  scmatsgrp1  20552
  Copyright terms: Public domain W3C validator