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Theorem scmatscm 20367
Description: The multiplication of a matrix with a scalar matrix corresponds to a scalar multiplication. (Contributed by AV, 28-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
scmatscm.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
scmatscm.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
scmatscm.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
scmatscm.t = ( ·𝑠𝐴)
scmatscm.m × = (.r𝐴)
scmatscm.c 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
scmatscm (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → ∃𝑐𝐾𝑚𝐵 (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐶,𝑐,𝑚   𝐾,𝑐,𝑚   𝑁,𝑐,𝑚   𝑅,𝑐,𝑚   𝑆,𝑐,𝑚   ,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑐)   𝐵(𝑚,𝑐)   × (𝑚,𝑐)   (𝑐)

Proof of Theorem scmatscm
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 scmatscm.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
2 scmatscm.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3 scmatscm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
4 eqid 2651 . . . 4 (1r𝐴) = (1r𝐴)
5 scmatscm.t . . . 4 = ( ·𝑠𝐴)
6 scmatscm.c . . . 4 𝑆 = (𝑁 ScMat 𝑅)
71, 2, 3, 4, 5, 6scmatscmid 20360 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑆) → ∃𝑐𝐾 𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)))
873expa 1284 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → ∃𝑐𝐾 𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)))
9 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)) → (𝐶 × 𝑚) = ((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚))
10 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Ring)
1110ad4antr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
12 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
142matring 20297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
153, 4ringidcl 18614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ Ring → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → (1r𝐴) ∈ 𝐵)
1817anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → ((1r𝐴) ∈ 𝐵𝑐𝐾))
1918ancomd 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑐𝐾 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵))
201, 2, 3, 5matvscl 20285 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑐𝐾 ∧ (1r𝐴) ∈ 𝐵)) → (𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵)
2113, 19, 20syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵)
2221anim1i 591 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵𝑚𝐵))
2322adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ((𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵𝑚𝐵))
24 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖𝑁𝑗𝑁))
25 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (.r𝑅) = (.r𝑅)
26 scmatscm.m . . . . . . . . . . . 12 × = (.r𝐴)
272, 3, 25, 26matmulcell 20299 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))))
2811, 23, 24, 27syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))))
2912anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐𝐾))
30 df-3an 1056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐾) ↔ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝑐𝐾))
3129, 30sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐾))
3231ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐾))
33 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0g𝑅) = (0g𝑅)
342, 1, 5, 33matsc 20304 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐𝐾) → (𝑐 (1r𝐴)) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 𝑐, (0g𝑅))))
3532, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑐 (1r𝐴)) = (𝑥𝑁, 𝑦𝑁 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 𝑐, (0g𝑅))))
36 eqeq12 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑘) → (𝑥 = 𝑦𝑖 = 𝑘))
3736ifbid 4141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑘) → if(𝑥 = 𝑦, 𝑐, (0g𝑅)) = if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅)))
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) ∧ (𝑥 = 𝑖𝑦 = 𝑘)) → if(𝑥 = 𝑦, 𝑐, (0g𝑅)) = if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅)))
39 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖𝑁)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑖𝑁)
42 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
43 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑐 ∈ V
44 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0g𝑅) ∈ V
4543, 44ifex 4189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅)) ∈ V
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅)) ∈ V)
4735, 38, 41, 42, 46ovmpt2d 6830 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘) = if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅)))
4847oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))
4948mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗))) = (𝑘𝑁 ↦ (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗))))
5049oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))))
51 ovif 6779 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))
52 simp-6r 828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑅 ∈ Ring)
53 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑗𝑁)
54 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → 𝑚𝐵)
5554ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑚𝐵)
562, 1, 3, 42, 53, 55matecld 20280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝑚𝑗) ∈ 𝐾)
571, 25, 33ringlz 18633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑘𝑚𝑗) ∈ 𝐾) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (0g𝑅))
5852, 56, 57syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (0g𝑅))
5958ifeq2d 4138 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), ((0g𝑅)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗))) = if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))
6051, 59syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))
6160mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑘𝑁 ↦ (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗))) = (𝑘𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅))))
6261oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ (if(𝑖 = 𝑘, 𝑐, (0g𝑅))(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))) = (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))))
63 ringmnd 18602 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
6463adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 ∈ Mnd)
6564ad4antr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑅 ∈ Mnd)
66 simpl 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑁 ∈ Fin)
6766ad4antr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
68 equcom 1991 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘𝑘 = 𝑖)
69 ifbi 4140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = 𝑘𝑘 = 𝑖) → if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)) = if(𝑘 = 𝑖, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)) = if(𝑘 = 𝑖, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅))
7170mpteq2i 4774 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅))) = (𝑘𝑁 ↦ if(𝑘 = 𝑖, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))
721eleq2i 2722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐𝐾𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
7372biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐𝐾𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
7574ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))
76 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
772, 76, 3, 42, 53, 55matecld 20280 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝑚𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
7876, 25ringcl 18607 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑘𝑚𝑗) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
7952, 75, 77, 78syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
8079ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → ∀𝑘𝑁 (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
8133, 65, 67, 40, 71, 80gsummpt1n0 18410 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝑘, (𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)), (0g𝑅)))) = 𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))
8250, 62, 813eqtrd 2689 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑅 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑖(𝑐 (1r𝐴))𝑘)(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))) = 𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)))
83 csbov2g 6731 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖𝑁𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r𝑅)𝑖 / 𝑘(𝑘𝑚𝑗)))
84 csbov1g 6730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖𝑁𝑖 / 𝑘(𝑘𝑚𝑗) = (𝑖 / 𝑘𝑘𝑚𝑗))
85 csbvarg 4036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖𝑁𝑖 / 𝑘𝑘 = 𝑖)
8685oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖𝑁 → (𝑖 / 𝑘𝑘𝑚𝑗) = (𝑖𝑚𝑗))
8784, 86eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖𝑁𝑖 / 𝑘(𝑘𝑚𝑗) = (𝑖𝑚𝑗))
8887oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖𝑁 → (𝑐(.r𝑅)𝑖 / 𝑘(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
8983, 88eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑁𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
9089adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
9190adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → 𝑖 / 𝑘(𝑐(.r𝑅)(𝑘𝑚𝑗)) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
9228, 82, 913eqtrd 2689 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
93 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → 𝑐𝐾)
9493anim1i 591 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑐𝐾𝑚𝐵))
9594adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑐𝐾𝑚𝐵))
962, 3, 1, 5, 25matvscacell 20290 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑐𝐾𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
9711, 95, 24, 96syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗) = (𝑐(.r𝑅)(𝑖𝑚𝑗)))
9892, 97eqtr4d 2688 . . . . . . . 8 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ (𝑖𝑁𝑗𝑁)) → (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗))
9998ralrimivva 3000 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗))
10014ad3antrrr 766 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
10121adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵)
1023, 26ringcl 18607 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Ring ∧ (𝑐 (1r𝐴)) ∈ 𝐵𝑚𝐵) → ((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) ∈ 𝐵)
103100, 101, 54, 102syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) ∈ 𝐵)
10412ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring))
1051, 2, 3, 5matvscl 20285 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑐𝐾𝑚𝐵)) → (𝑐 𝑚) ∈ 𝐵)
106104, 94, 105syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (𝑐 𝑚) ∈ 𝐵)
1072, 3eqmat 20278 . . . . . . . 8 ((((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) ∈ 𝐵 ∧ (𝑐 𝑚) ∈ 𝐵) → (((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) = (𝑐 𝑚) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗)))
108103, 106, 107syl2anc 694 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) = (𝑐 𝑚) ↔ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚)𝑗) = (𝑖(𝑐 𝑚)𝑗)))
10999, 108mpbird 247 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → ((𝑐 (1r𝐴)) × 𝑚) = (𝑐 𝑚))
1109, 109sylan9eqr 2707 . . . . 5 ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) ∧ 𝐶 = (𝑐 (1r𝐴))) → (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚))
111110ex 449 . . . 4 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) ∧ 𝑚𝐵) → (𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)) → (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚)))
112111ralrimdva 2998 . . 3 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) ∧ 𝑐𝐾) → (𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)) → ∀𝑚𝐵 (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚)))
113112reximdva 3046 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → (∃𝑐𝐾 𝐶 = (𝑐 (1r𝐴)) → ∃𝑐𝐾𝑚𝐵 (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚)))
1148, 113mpd 15 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ 𝐶𝑆) → ∃𝑐𝐾𝑚𝐵 (𝐶 × 𝑚) = (𝑐 𝑚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  csb 3566  ifcif 4119  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  Fincfn 7997  Basecbs 15904  .rcmulr 15989   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341  1rcur 18547  Ringcrg 18593   Mat cmat 20261   ScMat cscmat 20343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-ot 4219  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-mamu 20238  df-mat 20262  df-scmat 20345
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