Theorem saluncl 41032

Description: The union of two sets in a sigma-algebra is in the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
saluncl	⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem saluncl

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniprg 4594	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ∪ {𝐸, 𝐹} = (𝐸 ∪ 𝐹))
2	1	eqcomd 2758	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∪ 𝐹) = ∪ {𝐸, 𝐹})
3	2	3adant1 1124	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∪ 𝐹) = ∪ {𝐸, 𝐹})
4		prfi 8392	. . . . 5 ⊢ {𝐸, 𝐹} ∈ Fin
5		isfinite 8714	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin ↔ {𝐸, 𝐹} ≺ ω)
6	5	biimpi 206	. . . . . 6 ⊢ ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin → {𝐸, 𝐹} ≺ ω)
7		sdomdom 8141	. . . . . 6 ⊢ ({𝐸, 𝐹} ≺ ω → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ({𝐸, 𝐹} ∈ Fin → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
9	4, 8	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {𝐸, 𝐹} ≼ ω
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → {𝐸, 𝐹} ≼ ω)
11		prelpwi 5056	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆)
12	11	3adant1 1124	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → {𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆)
13		issal 41029	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ SAlg → (𝑆 ∈ SAlg ↔ (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))))
14	13	ibi 256	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ SAlg → (∅ ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∪ 𝑆 ∖ 𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)))
15	14	simp3d 1138	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ SAlg → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
16	15	3ad2ant1 1127	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆))
17		breq1 4799	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → (𝑦 ≼ ω ↔ {𝐸, 𝐹} ≼ ω))
18		unieq 4588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → ∪ 𝑦 = ∪ {𝐸, 𝐹})
19	18	eleq1d 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → (∪ 𝑦 ∈ 𝑆 ↔ ∪ {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
20	17, 19	imbi12d 333	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = {𝐸, 𝐹} → ((𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆) ↔ ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → ∪ {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆)))
21	20	rspcva 3439	. . . 4 ⊢ (({𝐸, 𝐹} ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → ∪ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → ∪ {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
22	12, 16, 21	syl2anc 696	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ({𝐸, 𝐹} ≼ ω → ∪ {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆))
23	10, 22	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → ∪ {𝐸, 𝐹} ∈ 𝑆)
24	3, 23	eqeltrd 2831	1 ⊢ ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸 ∈ 𝑆 ∧ 𝐹 ∈ 𝑆) → (𝐸 ∪ 𝐹) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  ∀wral 3042   ∖ cdif 3704   ∪ cun 3705  ∅c0 4050  𝒫 cpw 4294  {cpr 4315  ∪ cuni 4580   class class class wbr 4796  ωcom 7222   ≼ cdom 8111   ≺ csdm 8112  Fincfn 8113  SAlgcsalg 41023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-salg 41024

This theorem is referenced by:  salincl  41038  saluncld  41061