Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salpreimagtlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salpreimagtlt 41260
Description: If all the preimages of lef-open, unbounded above intervals, belong to a sigma-algebra, then all the preimages of right-open, unbounded below intervals, belong to the sigma-algebra. (iii) implies (i) in Proposition 121B of [Fremlin1] p. 36. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salpreimagtlt.x 𝑥𝜑
salpreimagtlt.a 𝑎𝜑
salpreimagtlt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
salpreimagtlt.u 𝐴 = 𝑆
salpreimagtlt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
salpreimagtlt.p ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
salpreimagtlt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
salpreimagtlt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑥   𝐵,𝑎   𝐶,𝑎,𝑥   𝑆,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑎)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salpreimagtlt
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 salpreimagtlt.x . 2 𝑥𝜑
2 salpreimagtlt.a . 2 𝑎𝜑
3 salpreimagtlt.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 salpreimagtlt.u . 2 𝐴 = 𝑆
5 salpreimagtlt.b . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 nfv 1883 . . . 4 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
71, 6nfan 1868 . . 3 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
8 nfv 1883 . . 3 𝑏(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
93adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
105adantlr 751 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
11 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑎 𝑏 ∈ ℝ
122, 11nfan 1868 . . . . . 6 𝑎(𝜑𝑏 ∈ ℝ)
13 nfv 1883 . . . . . 6 𝑎{𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆
1412, 13nfim 1865 . . . . 5 𝑎((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
15 eleq1 2718 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ∈ ℝ ↔ 𝑏 ∈ ℝ))
1615anbi2d 740 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ↔ (𝜑𝑏 ∈ ℝ)))
17 breq1 4688 . . . . . . . 8 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 < 𝐵𝑏 < 𝐵))
1817rabbidv 3220 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑏 → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} = {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵})
1918eleq1d 2715 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → ({𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆 ↔ {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆))
2016, 19imbi12d 333 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆) ↔ ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)))
21 salpreimagtlt.p . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎 < 𝐵} ∈ 𝑆)
2214, 20, 21chvar 2298 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
2322adantlr 751 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑏 < 𝐵} ∈ 𝑆)
24 simpr 476 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
257, 8, 9, 10, 23, 24salpreimagtge 41255 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐴𝑎𝐵} ∈ 𝑆)
26 salpreimagtlt.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
271, 2, 3, 4, 5, 25, 26salpreimagelt 41239 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐵 < 𝐶} ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  {crab 2945   cuni 4468   class class class wbr 4685  cr 9973  *cxr 10111   < clt 10112  SAlgcsalg 40846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-acn 8806  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fl 12633  df-salg 40847
This theorem is referenced by:  issmfgtlem  41285
  Copyright terms: Public domain W3C validator