Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  saliincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem saliincl 40863
Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable indexed intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
saliincl.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
saliincl.kct (𝜑𝐾 ≼ ω)
saliincl.kn0 (𝜑𝐾 ≠ ∅)
saliincl.e ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸𝑆)
Assertion
Ref Expression
saliincl (𝜑 𝑘𝐾 𝐸𝑆)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem saliincl
StepHypRef Expression
1 saliincl.e . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸𝑆)
2 elssuni 4499 . . . . . . . 8 (𝐸𝑆𝐸 𝑆)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸 𝑆)
4 df-ss 3621 . . . . . . 7 (𝐸 𝑆 ↔ (𝐸 𝑆) = 𝐸)
53, 4sylib 208 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝐸 𝑆) = 𝐸)
65eqcomd 2657 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸 = (𝐸 𝑆))
7 incom 3838 . . . . . 6 (𝐸 𝑆) = ( 𝑆𝐸)
87a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝐸 𝑆) = ( 𝑆𝐸))
9 dfin4 3900 . . . . . 6 ( 𝑆𝐸) = ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸))
109a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐾) → ( 𝑆𝐸) = ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)))
116, 8, 103eqtrd 2689 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸 = ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)))
1211iineq2dv 4575 . . 3 (𝜑 𝑘𝐾 𝐸 = 𝑘𝐾 ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)))
13 saliincl.kn0 . . . 4 (𝜑𝐾 ≠ ∅)
14 iindif2 4621 . . . 4 (𝐾 ≠ ∅ → 𝑘𝐾 ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)) = ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)))
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑 𝑘𝐾 ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)) = ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)))
1612, 15eqtrd 2685 . 2 (𝜑 𝑘𝐾 𝐸 = ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)))
17 saliincl.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
18 saliincl.kct . . . 4 (𝜑𝐾 ≼ ω)
1917adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝑆 ∈ SAlg)
20 saldifcl 40857 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
2119, 1, 20syl2anc 694 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐾) → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
2217, 18, 21saliuncl 40860 . . 3 (𝜑 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
23 saldifcl 40857 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆) → ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)) ∈ 𝑆)
2417, 22, 23syl2anc 694 . 2 (𝜑 → ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)) ∈ 𝑆)
2516, 24eqeltrd 2730 1 (𝜑 𝑘𝐾 𝐸𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  c0 3948   cuni 4468   ciun 4552   ciin 4553   class class class wbr 4685  ωcom 7107  cdom 7995  SAlgcsalg 40846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-card 8803  df-acn 8806  df-salg 40847
This theorem is referenced by:  iocborel  40892  hoimbllem  41165  iccvonmbllem  41213  salpreimagtge  41255  salpreimaltle  41256  smflimlem1  41300  smfsuplem1  41338
  Copyright terms: Public domain W3C validator