Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salgensscntex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salgensscntex 40880
 Description: This counterexample shows that the sigma-algebra generated by a set is not the smallest sigma-algebra containing the set, if we consider also sigma-algebras with a larger base set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salgensscntex.a 𝐴 = (0[,]2)
salgensscntex.s 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
salgensscntex.x 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
salgensscntex.g 𝐺 = (SalGen‘𝑋)
Assertion
Ref Expression
salgensscntex (𝑋𝑆𝑆 ∈ SAlg ∧ ¬ 𝐺𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem salgensscntex
StepHypRef Expression
1 salgensscntex.x . . 3 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
2 0re 10078 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
3 2re 11128 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
42, 3pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
52leidi 10600 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 0
6 1le2 11279 . . . . . . . . . . . 12 1 ≤ 2
75, 6pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)
8 iccss 12279 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]2))
94, 7, 8mp2an 708 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ (0[,]2)
10 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
119, 10sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]2))
12 salgensscntex.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (0[,]2)
1311, 12syl6eleqr 2741 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦𝐴)
14 snelpwi 4942 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
16 snfi 8079 . . . . . . . . . 10 {𝑦} ∈ Fin
17 fict 8588 . . . . . . . . . 10 ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {𝑦} ≼ ω
19 orc 399 . . . . . . . . 9 ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
2215, 21jca 553 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
23 breq1 4688 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
24 difeq2 3755 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {𝑦} → (𝐴𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
2524breq1d 4695 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
2623, 25orbi12d 746 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
27 salgensscntex.s . . . . . . 7 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
2826, 27elrab2 3399 . . . . . 6 ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
2922, 28sylibr 224 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝑆)
3029rgen 2951 . . . 4 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆
31 eqid 2651 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
3231rnmptss 6432 . . . 4 (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆 → ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆)
3330, 32ax-mp 5 . . 3 ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆
341, 33eqsstri 3668 . 2 𝑋𝑆
35 ovex 6718 . . . . . 6 (0[,]2) ∈ V
3612, 35eqeltri 2726 . . . . 5 𝐴 ∈ V
3736a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐴 ∈ V)
3837, 27salexct 40870 . . 3 (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
3938trud 1533 . 2 𝑆 ∈ SAlg
40 ovex 6718 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ∈ V
4140mptex 6527 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ∈ V
4241rnex 7142 . . . . . . 7 ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ∈ V
431, 42eqeltri 2726 . . . . . 6 𝑋 ∈ V
4443a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝑋 ∈ V)
45 salgensscntex.g . . . . 5 𝐺 = (SalGen‘𝑋)
461unieqi 4477 . . . . . 6 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
47 snex 4938 . . . . . . . . 9 {𝑦} ∈ V
4847rgenw 2953 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V
49 dfiun3g 5410 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V → 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
5150eqcomi 2660 . . . . . 6 ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦}
52 iunid 4607 . . . . . 6 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = (0[,]1)
5346, 51, 523eqtrri 2678 . . . . 5 (0[,]1) = 𝑋
5444, 45, 53unisalgen 40876 . . . 4 (⊤ → (0[,]1) ∈ 𝐺)
5554trud 1533 . . 3 (0[,]1) ∈ 𝐺
56 eqid 2651 . . . 4 (0[,]1) = (0[,]1)
5712, 27, 56salexct2 40875 . . 3 ¬ (0[,]1) ∈ 𝑆
58 nelss 3697 . . 3 (((0[,]1) ∈ 𝐺 ∧ ¬ (0[,]1) ∈ 𝑆) → ¬ 𝐺𝑆)
5955, 57, 58mp2an 708 . 2 ¬ 𝐺𝑆
6034, 39, 593pm3.2i 1259 1 (𝑋𝑆𝑆 ∈ SAlg ∧ ¬ 𝐺𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  ∪ cuni 4468  ∪ ciun 4552   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ran crn 5144  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ωcom 7107   ≼ cdom 7995  Fincfn 7997  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   ≤ cle 10113  2c2 11108  [,]cicc 12216  SAlgcsalg 40846  SalGencsalgen 40850 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-ntr 20872  df-salg 40847  df-salgen 40851 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator