Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salexct2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salexct2 40875
 Description: An example of a subset that does not belong to a non trivial sigma-algebra, see salexct 40870. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salexct2.1 𝐴 = (0[,]2)
salexct2.2 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
salexct2.3 𝐵 = (0[,]1)
Assertion
Ref Expression
salexct2 ¬ 𝐵𝑆
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salexct2
StepHypRef Expression
1 0xr 10124 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
3 1re 10077 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
43rexri 10135 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℝ*)
6 0lt1 10588 . . . . . . . 8 0 < 1
76a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 0 < 1)
8 salexct2.3 . . . . . . 7 𝐵 = (0[,]1)
92, 5, 7, 8iccnct 40086 . . . . . 6 (⊤ → ¬ 𝐵 ≼ ω)
109trud 1533 . . . . 5 ¬ 𝐵 ≼ ω
11 2re 11128 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
1211rexri 10135 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ*
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 2 ∈ ℝ*)
14 1lt2 11232 . . . . . . . . 9 1 < 2
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 < 2)
16 eqid 2651 . . . . . . . 8 (1(,]2) = (1(,]2)
175, 13, 15, 16iocnct 40085 . . . . . . 7 (⊤ → ¬ (1(,]2) ≼ ω)
1817trud 1533 . . . . . 6 ¬ (1(,]2) ≼ ω
19 salexct2.1 . . . . . . . . 9 𝐴 = (0[,]2)
2019, 8difeq12i 3759 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) = ((0[,]2) ∖ (0[,]1))
212, 5, 7xrltled 39800 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 ≤ 1)
222, 5, 13, 21iccdificc 40084 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((0[,]2) ∖ (0[,]1)) = (1(,]2))
2322trud 1533 . . . . . . . 8 ((0[,]2) ∖ (0[,]1)) = (1(,]2)
2420, 23eqtri 2673 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) = (1(,]2)
2524breq1i 4692 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ≼ ω ↔ (1(,]2) ≼ ω)
2618, 25mtbir 312 . . . . 5 ¬ (𝐴𝐵) ≼ ω
2710, 26pm3.2i 470 . . . 4 𝐵 ≼ ω ∧ ¬ (𝐴𝐵) ≼ ω)
28 ioran 510 . . . 4 (¬ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω) ↔ (¬ 𝐵 ≼ ω ∧ ¬ (𝐴𝐵) ≼ ω))
2927, 28mpbir 221 . . 3 ¬ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω)
3029intnan 980 . 2 ¬ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω))
31 breq1 4688 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝐵 ≼ ω))
32 difeq2 3755 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝐵))
3332breq1d 4695 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴𝐵) ≼ ω))
3431, 33orbi12d 746 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω) ↔ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω)))
35 salexct2.2 . . 3 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
3634, 35elrab2 3399 . 2 (𝐵𝑆 ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω)))
3730, 36mtbir 312 1 ¬ 𝐵𝑆
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030  {crab 2945   ∖ cdif 3604  𝒫 cpw 4191   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  ωcom 7107   ≼ cdom 7995  0cc0 9974  1c1 9975  ℝ*cxr 10111   < clt 10112  2c2 11108  (,]cioc 12214  [,]cicc 12216 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-ntr 20872 This theorem is referenced by:  salexct3  40878  salgencntex  40879  salgensscntex  40880
 Copyright terms: Public domain W3C validator