Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salexct2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salexct2 41080
Description: An example of a subset that does not belong to a non trivial sigma-algebra, see salexct 41075. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salexct2.1 𝐴 = (0[,]2)
salexct2.2 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
salexct2.3 𝐵 = (0[,]1)
Assertion
Ref Expression
salexct2 ¬ 𝐵𝑆
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑥)

Proof of Theorem salexct2
StepHypRef Expression
1 0xr 10309 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
3 1re 10262 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
43rexri 10320 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℝ*)
6 0lt1 10773 . . . . . . . 8 0 < 1
76a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 0 < 1)
8 salexct2.3 . . . . . . 7 𝐵 = (0[,]1)
92, 5, 7, 8iccnct 40292 . . . . . 6 (⊤ → ¬ 𝐵 ≼ ω)
109trud 1644 . . . . 5 ¬ 𝐵 ≼ ω
11 2re 11313 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
1211rexri 10320 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ*
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 2 ∈ ℝ*)
14 1lt2 11418 . . . . . . . . 9 1 < 2
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 1 < 2)
16 eqid 2774 . . . . . . . 8 (1(,]2) = (1(,]2)
175, 13, 15, 16iocnct 40291 . . . . . . 7 (⊤ → ¬ (1(,]2) ≼ ω)
1817trud 1644 . . . . . 6 ¬ (1(,]2) ≼ ω
19 salexct2.1 . . . . . . . . 9 𝐴 = (0[,]2)
2019, 8difeq12i 3884 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) = ((0[,]2) ∖ (0[,]1))
212, 5, 7xrltled 12205 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 0 ≤ 1)
222, 5, 13, 21iccdificc 40290 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((0[,]2) ∖ (0[,]1)) = (1(,]2))
2322trud 1644 . . . . . . . 8 ((0[,]2) ∖ (0[,]1)) = (1(,]2)
2420, 23eqtri 2796 . . . . . . 7 (𝐴𝐵) = (1(,]2)
2524breq1i 4804 . . . . . 6 ((𝐴𝐵) ≼ ω ↔ (1(,]2) ≼ ω)
2618, 25mtbir 313 . . . . 5 ¬ (𝐴𝐵) ≼ ω
2710, 26pm3.2i 457 . . . 4 𝐵 ≼ ω ∧ ¬ (𝐴𝐵) ≼ ω)
28 ioran 995 . . . 4 (¬ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω) ↔ (¬ 𝐵 ≼ ω ∧ ¬ (𝐴𝐵) ≼ ω))
2927, 28mpbir 222 . . 3 ¬ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω)
3029intnan 475 . 2 ¬ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω))
31 breq1 4800 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ≼ ω ↔ 𝐵 ≼ ω))
32 difeq2 3880 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝐵))
3332breq1d 4807 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴𝐵) ≼ ω))
3431, 33orbi12d 931 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω) ↔ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω)))
35 salexct2.2 . . 3 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
3634, 35elrab2 3524 . 2 (𝐵𝑆 ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐵 ≼ ω ∨ (𝐴𝐵) ≼ ω)))
3730, 36mtbir 313 1 ¬ 𝐵𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 383  wo 863   = wceq 1634  wtru 1635  wcel 2148  {crab 3068  cdif 3726  𝒫 cpw 4307   class class class wbr 4797  (class class class)co 6812  ωcom 7233  cdom 8128  0cc0 10159  1c1 10160  *cxr 10296   < clt 10297  2c2 11293  (,]cioc 12400  [,]cicc 12402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-inf2 8723  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236  ax-pre-sup 10237
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-fal 1640  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-int 4623  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-se 5223  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-isom 6051  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-2o 7735  df-oadd 7738  df-omul 7739  df-er 7917  df-map 8032  df-pm 8033  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-fin 8134  df-sup 8525  df-inf 8526  df-oi 8592  df-card 8986  df-acn 8989  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-div 10908  df-nn 11244  df-2 11302  df-3 11303  df-n0 11517  df-z 11602  df-uz 11911  df-q 12014  df-rp 12053  df-xneg 12168  df-xadd 12169  df-xmul 12170  df-ioo 12403  df-ioc 12404  df-ico 12405  df-icc 12406  df-fz 12556  df-fzo 12696  df-fl 12823  df-seq 13031  df-exp 13090  df-hash 13344  df-cj 14069  df-re 14070  df-im 14071  df-sqrt 14205  df-abs 14206  df-limsup 14432  df-clim 14449  df-rlim 14450  df-sum 14647  df-topgen 16332  df-psmet 19973  df-xmet 19974  df-met 19975  df-bl 19976  df-mopn 19977  df-top 20939  df-topon 20956  df-bases 20991  df-ntr 21065
This theorem is referenced by:  salexct3  41083  salgencntex  41084  salgensscntex  41085
  Copyright terms: Public domain W3C validator