MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadfval 15297
Description: Define the addition of two bit sequences, using df-had 1646 and df-cad 1659 bit operations. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
Assertion
Ref Expression
sadfval (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))})
Distinct variable groups:   𝑘,𝑐,𝑚,𝑛   𝐴,𝑐,𝑘,𝑚   𝐵,𝑐,𝑘,𝑚   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem sadfval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sadval.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
2 nn0ex 11411 . . . 4 0 ∈ V
32elpw2 4933 . . 3 (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ0𝐴 ⊆ ℕ0)
41, 3sylibr 224 . 2 (𝜑𝐴 ∈ 𝒫 ℕ0)
5 sadval.b . . 3 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
62elpw2 4933 . . 3 (𝐵 ∈ 𝒫 ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0)
75, 6sylibr 224 . 2 (𝜑𝐵 ∈ 𝒫 ℕ0)
8 simpl 474 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → 𝑥 = 𝐴)
98eleq2d 2789 . . . . 5 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (𝑘𝑥𝑘𝐴))
10 simpr 479 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
1110eleq2d 2789 . . . . 5 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (𝑘𝑦𝑘𝐵))
12 simp1l 1216 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 2𝑜𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑥 = 𝐴)
1312eleq2d 2789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 2𝑜𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚𝑥𝑚𝐴))
14 simp1r 1217 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 2𝑜𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑦 = 𝐵)
1514eleq2d 2789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 2𝑜𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚𝑦𝑚𝐵))
16 biidd 252 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 2𝑜𝑚 ∈ ℕ0) → (∅ ∈ 𝑐 ↔ ∅ ∈ 𝑐))
1713, 15, 16cadbi123d 1662 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 2𝑜𝑚 ∈ ℕ0) → (cadd(𝑚𝑥, 𝑚𝑦, ∅ ∈ 𝑐) ↔ cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐)))
1817ifbid 4216 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) ∧ 𝑐 ∈ 2𝑜𝑚 ∈ ℕ0) → if(cadd(𝑚𝑥, 𝑚𝑦, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅) = if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))
1918mpt2eq3dva 6836 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝑥, 𝑚𝑦, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)) = (𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)))
2019seqeq2d 12923 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝑥, 𝑚𝑦, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))))
21 sadval.c . . . . . . . 8 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
2220, 21syl6eqr 2776 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝑥, 𝑚𝑦, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))) = 𝐶)
2322fveq1d 6306 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝑥, 𝑚𝑦, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑘) = (𝐶𝑘))
2423eleq2d 2789 . . . . 5 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (∅ ∈ (seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝑥, 𝑚𝑦, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑘) ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑘)))
259, 11, 24hadbi123d 1647 . . . 4 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → (hadd(𝑘𝑥, 𝑘𝑦, ∅ ∈ (seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝑥, 𝑚𝑦, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑘)) ↔ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))))
2625rabbidv 3293 . . 3 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝑥, 𝑘𝑦, ∅ ∈ (seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝑥, 𝑚𝑦, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑘))} = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))})
27 df-sad 15296 . . 3 sadd = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑦 ∈ 𝒫 ℕ0 ↦ {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝑥, 𝑘𝑦, ∅ ∈ (seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝑥, 𝑚𝑦, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑘))})
282rabex 4920 . . 3 {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))} ∈ V
2926, 27, 28ovmpt2a 6908 . 2 ((𝐴 ∈ 𝒫 ℕ0𝐵 ∈ 𝒫 ℕ0) → (𝐴 sadd 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))})
304, 7, 29syl2anc 696 1 (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  haddwhad 1645  caddwcad 1658  wcel 2103  {crab 3018  wss 3680  c0 4023  ifcif 4194  𝒫 cpw 4266  cmpt 4837  cfv 6001  (class class class)co 6765  cmpt2 6767  1𝑜c1o 7673  2𝑜c2o 7674  0cc0 10049  1c1 10050  cmin 10379  0cn0 11405  seqcseq 12916   sadd csad 15265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-xor 1578  df-tru 1599  df-had 1646  df-cad 1659  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-nn 11134  df-n0 11406  df-seq 12917  df-sad 15296
This theorem is referenced by:  sadval  15301  sadadd2lem  15304  sadadd3  15306  sadcl  15307  sadcom  15308
  Copyright terms: Public domain W3C validator