MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadadd2lem2 15153
Description: The core of the proof of sadadd2 15163. The intuitive justification for this is that cadd is true if at least two arguments are true, and hadd is true if an odd number of arguments are true, so altogether the result is 𝑛 · 𝐴 where 𝑛 is the number of true arguments, which is equivalently obtained by adding together one 𝐴 for each true argument, on the right side. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
sadadd2lem2 (𝐴 ∈ ℂ → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))

Proof of Theorem sadadd2lem2
StepHypRef Expression
1 0cn 10017 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
2 ifcl 4121 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
31, 2mpan2 706 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
43ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
5 simpll 789 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℂ)
64, 5, 5add12d 10247 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + (𝐴 + 𝐴)) = (𝐴 + (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴)))
75, 4, 5addassd 10047 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → ((𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴) = (𝐴 + (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴)))
86, 7eqtr4d 2657 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + (𝐴 + 𝐴)) = ((𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
9 pm5.501 356 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
109adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
1110bicomd 213 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → ((𝜑𝜓) ↔ 𝜓))
1211ifbid 4099 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) = if(𝜓, 𝐴, 0))
13 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → 𝜑)
1413orcd 407 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜑𝜓))
15 iftrue 4083 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
1752timesd 11260 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
1816, 17eqtrd 2654 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0) = (𝐴 + 𝐴))
1912, 18oveq12d 6653 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + (𝐴 + 𝐴)))
20 iftrue 4083 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 0) = 𝐴)
2120adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 𝐴)
2221oveq1d 6650 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
2322oveq1d 6650 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴) = ((𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
248, 19, 233eqtr4d 2664 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
25 iffalse 4086 . . . . . . . . 9 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 0) = 0)
2625adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 0)
2726oveq1d 6650 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
283ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
2928addid2d 10222 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)) = if(𝜓, 𝐴, 0))
3027, 29eqtrd 2654 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = if(𝜓, 𝐴, 0))
3130oveq1d 6650 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
32 2cnd 11078 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
33 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
3432, 33mulcld 10045 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
3534addid2d 10222 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (2 · 𝐴)) = (2 · 𝐴))
36 2times 11130 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
3735, 36eqtrd 2654 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (0 + (2 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
3837adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (0 + (2 · 𝐴)) = (𝐴 + 𝐴))
39 iftrue 4083 . . . . . . . . . 10 (𝜓 → if(𝜓, 0, 𝐴) = 0)
4039adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → if(𝜓, 0, 𝐴) = 0)
41 iftrue 4083 . . . . . . . . . 10 (𝜓 → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
4241adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = (2 · 𝐴))
4340, 42oveq12d 6653 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (0 + (2 · 𝐴)))
44 iftrue 4083 . . . . . . . . . 10 (𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 0) = 𝐴)
4544adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 0) = 𝐴)
4645oveq1d 6650 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴) = (𝐴 + 𝐴))
4738, 43, 463eqtr4d 2664 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
48 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
49 0cnd 10018 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → 0 ∈ ℂ)
5048, 49addcomd 10223 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (𝐴 + 0) = (0 + 𝐴))
51 iffalse 4086 . . . . . . . . . 10 𝜓 → if(𝜓, 0, 𝐴) = 𝐴)
5251adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 0, 𝐴) = 𝐴)
53 iffalse 4086 . . . . . . . . . 10 𝜓 → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = 0)
5453adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = 0)
5552, 54oveq12d 6653 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + 0))
56 iffalse 4086 . . . . . . . . . 10 𝜓 → if(𝜓, 𝐴, 0) = 0)
5756adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, 𝐴, 0) = 0)
5857oveq1d 6650 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
5950, 55, 583eqtr4d 2664 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
6047, 59pm2.61dan 831 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
6160ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 𝐴))
62 ifnot 4124 . . . . . . 7 if(¬ 𝜓, 𝐴, 0) = if(𝜓, 0, 𝐴)
63 nbn2 360 . . . . . . . . 9 𝜑 → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
6463adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
6564ifbid 4099 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(¬ 𝜓, 𝐴, 0) = if((𝜑𝜓), 𝐴, 0))
6662, 65syl5eqr 2668 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, 0, 𝐴) = if((𝜑𝜓), 𝐴, 0))
67 biorf 420 . . . . . . . 8 𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
6867adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
6968ifbid 4099 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0))
7066, 69oveq12d 6653 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
7131, 61, 703eqtr2rd 2661 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
7224, 71pm2.61dan 831 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
73 hadrot 1538 . . . . . . 7 (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒))
74 had1 1540 . . . . . . 7 (𝜒 → (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ (𝜑𝜓)))
7573, 74syl5bbr 274 . . . . . 6 (𝜒 → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑𝜓)))
7675adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑𝜓)))
7776ifbid 4099 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) = if((𝜑𝜓), 𝐴, 0))
78 cad1 1553 . . . . . 6 (𝜒 → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑𝜓)))
7978adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑𝜓)))
8079ifbid 4099 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0))
8177, 80oveq12d 6653 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
82 iftrue 4083 . . . . 5 (𝜒 → if(𝜒, 𝐴, 0) = 𝐴)
8382adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → if(𝜒, 𝐴, 0) = 𝐴)
8483oveq2d 6651 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 𝐴))
8572, 81, 843eqtr4d 2664 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))
8620adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 𝐴)
8786oveq1d 6650 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
8845oveq2d 6651 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (𝐴 + 𝐴))
8938, 43, 883eqtr4d 2664 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
9054, 57eqtr4d 2657 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = if(𝜓, 𝐴, 0))
9152, 90oveq12d 6653 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜓) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
9289, 91pm2.61dan 831 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
9392ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (𝐴 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
949adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
9594notbid 308 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ ¬ (𝜑𝜓)))
96 df-xor 1463 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝜓) ↔ ¬ (𝜑𝜓))
9795, 96syl6bbr 278 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
9897ifbid 4099 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(¬ 𝜓, 𝐴, 0) = if((𝜑𝜓), 𝐴, 0))
9962, 98syl5eqr 2668 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 0, 𝐴) = if((𝜑𝜓), 𝐴, 0))
100 ibar 525 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
101100adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
102101ifbid 4099 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → if(𝜓, (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0))
10399, 102oveq12d 6653 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if(𝜓, 0, 𝐴) + if(𝜓, (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
10487, 93, 1033eqtr2rd 2661 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ 𝜑) → (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
105 simplll 797 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) ∧ 𝜓) → 𝐴 ∈ ℂ)
106 0cnd 10018 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) ∧ ¬ 𝜓) → 0 ∈ ℂ)
107105, 106ifclda 4111 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
108 0cnd 10018 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → 0 ∈ ℂ)
109107, 108addcomd 10223 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜓, 𝐴, 0) + 0) = (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
11063adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (¬ 𝜓 ↔ (𝜑𝜓)))
111110con1bid 345 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (¬ (𝜑𝜓) ↔ 𝜓))
11296, 111syl5bb 272 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ((𝜑𝜓) ↔ 𝜓))
113112ifbid 4099 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) = if(𝜓, 𝐴, 0))
114 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ 𝜑)
115114intnanrd 962 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → ¬ (𝜑𝜓))
116 iffalse 4086 . . . . . . 7 (¬ (𝜑𝜓) → if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0) = 0)
117115, 116syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0) = 0)
118113, 117oveq12d 6653 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜓, 𝐴, 0) + 0))
11925adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 0) = 0)
120119oveq1d 6650 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) = (0 + if(𝜓, 𝐴, 0)))
121109, 118, 1203eqtr4d 2664 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) ∧ ¬ 𝜑) → (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
122104, 121pm2.61dan 831 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
123 had0 1541 . . . . . . 7 𝜒 → (hadd(𝜒, 𝜑, 𝜓) ↔ (𝜑𝜓)))
12473, 123syl5bbr 274 . . . . . 6 𝜒 → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑𝜓)))
125124adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑𝜓)))
126125ifbid 4099 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) = if((𝜑𝜓), 𝐴, 0))
127 cad0 1554 . . . . . 6 𝜒 → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑𝜓)))
128127adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒) ↔ (𝜑𝜓)))
129128ifbid 4099 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0) = if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0))
130126, 129oveq12d 6653 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = (if((𝜑𝜓), 𝐴, 0) + if((𝜑𝜓), (2 · 𝐴), 0)))
131 iffalse 4086 . . . . 5 𝜒 → if(𝜒, 𝐴, 0) = 0)
132131oveq2d 6651 . . . 4 𝜒 → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 0))
133 ifcl 4121 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝜑, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
1341, 133mpan2 706 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → if(𝜑, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
135134, 3addcld 10044 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) ∈ ℂ)
136135addid1d 10221 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + 0) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
137132, 136sylan9eqr 2676 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)) = (if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)))
138122, 130, 1373eqtr4d 2664 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝜒) → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))
13985, 138pm2.61dan 831 1 (𝐴 ∈ ℂ → (if(hadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), 𝐴, 0) + if(cadd(𝜑, 𝜓, 𝜒), (2 · 𝐴), 0)) = ((if(𝜑, 𝐴, 0) + if(𝜓, 𝐴, 0)) + if(𝜒, 𝐴, 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  wxo 1462   = wceq 1481  haddwhad 1530  caddwcad 1543  wcel 1988  ifcif 4077  (class class class)co 6635  cc 9919  0cc0 9921   + caddc 9924   · cmul 9926  2c2 11055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-xor 1463  df-tru 1484  df-had 1531  df-cad 1544  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-ltxr 10064  df-2 11064
This theorem is referenced by:  sadadd2lem  15162
  Copyright terms: Public domain W3C validator