Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s2prop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s2prop 13861
 Description: A length 2 word is an unordered pair of ordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
s2prop ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})

Proof of Theorem s2prop
StepHypRef Expression
1 df-s2 13802 . 2 ⟨“𝐴𝐵”⟩ = (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩)
2 s1cl 13582 . . . 4 (𝐴𝑆 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆)
3 cats1un 13684 . . . 4 ((⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝑆𝐵𝑆) → (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐴”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}))
42, 3sylan 569 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = (⟨“𝐴”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}))
5 s1val 13578 . . . . 5 (𝐴𝑆 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
65adantr 466 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
76uneq1d 3917 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (⟨“𝐴”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}))
8 df-pr 4319 . . . 4 {⟨0, 𝐴⟩, ⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩} = ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩})
9 s1len 13586 . . . . . . 7 (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
109a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1)
1110opeq1d 4545 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩ = ⟨1, 𝐵⟩)
1211preq2d 4411 . . . 4 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → {⟨0, 𝐴⟩, ⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩} = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
138, 12syl5eqr 2819 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ({⟨0, 𝐴⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴”⟩), 𝐵⟩}) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
144, 7, 133eqtrd 2809 . 2 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → (⟨“𝐴”⟩ ++ ⟨“𝐵”⟩) = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
151, 14syl5eq 2817 1 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3721  {csn 4316  {cpr 4318  ⟨cop 4322  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139  ♯chash 13321  Word cword 13487   ++ cconcat 13489  ⟨“cs1 13490  ⟨“cs2 13795 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-s2 13802 This theorem is referenced by:  s2dmALT  13862  s3tpop  13863  s4prop  13864  funcnvs2  13867  s2f1o  13870  wrdlen2s2  13899  uhgrwkspthlem2  26885  ntrl2v2e  27338
 Copyright terms: Public domain W3C validator