MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s1len Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s1len 13608
Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
s1len (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Proof of Theorem s1len
StepHypRef Expression
1 df-s1 13520 . . 3 ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
21fveq2i 6351 . 2 (♯‘⟨“𝐴”⟩) = (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩})
3 opex 5074 . . 3 ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V
4 hashsng 13383 . . 3 (⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V → (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1)
53, 4ax-mp 5 . 2 (♯‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1
62, 5eqtri 2796 1 (♯‘⟨“𝐴”⟩) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1634  wcel 2148  Vcvv 3355  {csn 4326  cop 4332   I cid 5170  cfv 6042  0cc0 10159  1c1 10160  chash 13343  ⟨“cs1 13512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-int 4623  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-er 7917  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-fin 8134  df-card 8986  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-nn 11244  df-n0 11517  df-z 11602  df-uz 11911  df-fz 12556  df-hash 13344  df-s1 13520
This theorem is referenced by:  s1dm  13610  lsws1  13613  eqs1  13614  wrdl1s1  13616  ccats1alpha  13621  ccatws1len  13622  ccatws1lenOLD  13623  ccat2s1len  13627  ccats1val2  13632  ccat2s1p1  13634  ccat2s1p2  13635  cats1un  13706  revs1  13745  cats1fvn  13834  cats1len  13836  s2fv0  13863  s2fv1  13864  s2len  13865  s2prop  13883  s2eq2s1eq  13912  ofs2  13942  psgnpmtr  18157  efgsval2  18373  efgs1  18375  efgsp1  18377  efgsfo  18379  efgredlemc  18385  pgpfaclem1  18708  wlklenvclwlk  26807  wwlksnext  27058  wwlksnextbi  27059  clwlkclwwlk2  27174  loopclwwlkn1b  27219  clwwlkn1loopb  27220  clwwlkel  27223  clwwlkwwlksb  27232  clwwlknon1  27293  1ewlk  27316  1pthdlem1  27336  1pthdlem2  27337  1wlkdlem1  27338  1wlkdlem4  27341  1pthond  27345  lp1cycl  27353  signstf0  31002  signstfvn  31003  signstfvp  31005  signsvf1  31015  signsvfn  31016  signshf  31022
  Copyright terms: Public domain W3C validator