MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s1cl 13592
Description: A singleton word is a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (Proof shortened by AV, 23-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
s1cl (𝐴𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem s1cl
StepHypRef Expression
1 s1val 13588 . 2 (𝐴𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
2 snopiswrd 13520 . 2 (𝐴𝐵 → {⟨0, 𝐴⟩} ∈ Word 𝐵)
31, 2eqeltrd 2839 1 (𝐴𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ ∈ Word 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  {csn 4321  cop 4327  0cc0 10148  Word cword 13497  ⟨“cs1 13500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-word 13505  df-s1 13508
This theorem is referenced by:  s1cld  13593  s1cli  13595  lsws1  13602  wrdl1s1  13605  ccatws1cl  13607  ccat2s1cl  13609  ccats1alpha  13610  ccatws1lenOLD  13612  ccat2s1len  13616  ccats1val1  13620  ccats1val2  13621  ccat2s1p1  13623  ccat2s1p2  13624  ccatw2s1ass  13625  lswccats1  13630  cats1un  13695  reuccats1  13700  s2prop  13872  s2eq2s1eq  13901  s3eqs2s1eq  13903  gsumws2  17600  gsumccatsn  17601  vrmdfval  17614  vrmdval  17615  vrmdf  17616  psgnpmtr  18150  wwlksnext  27032  wwlksnextbi  27033  wwlksnextsur  27039  rusgrnumwwlkb0  27114  loopclwwlkn1b  27192  clwwlkn1loopb  27193  clwwlkext2edg  27207  wwlksext2clwwlk  27208  wwlksext2clwwlkOLD  27209  clwwlknon1loop  27267  1ewlk  27288  1wlkdlem3  27312  numclwwlk2lem1lem  27519  numclwwlk2lem1lemOLD  27520  numclwlk1lem2foalem  27531  numclwlk1lem2fo  27538  signstf0  30975  signstfvn  30976  signstfvp  30978  signstfvneq0  30979  signsvf1  30988
  Copyright terms: Public domain W3C validator