Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rusgr0edg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rusgr0edg 27119
 Description: Special case for graphs without edges: There are no walks of length greater than 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rusgrnumwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
rusgrnumwwlk.l 𝐿 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))
Assertion
Ref Expression
rusgr0edg ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = 0)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑃,𝑛,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem rusgr0edg
StepHypRef Expression
1 simp2 1130 . . 3 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃𝑉)
2 nnnn0 11500 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
323ad2ant3 1128 . . 3 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 rusgrnumwwlk.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5 rusgrnumwwlk.l . . . 4 𝐿 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))
64, 5rusgrnumwwlklem 27116 . . 3 ((𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐿𝑁) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
71, 3, 6syl2anc 565 . 2 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
8 rusgrusgr 26694 . . . . . . . . . 10 (𝐺RegUSGraph0 → 𝐺 ∈ USGraph)
9 usgr0edg0rusgr 26705 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺RegUSGraph0 ↔ (Edg‘𝐺) = ∅))
109biimpcd 239 . . . . . . . . . 10 (𝐺RegUSGraph0 → (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ∅))
118, 10mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝐺RegUSGraph0 → (Edg‘𝐺) = ∅)
12 0enwwlksnge1 26997 . . . . . . . . 9 (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
1311, 12sylan 561 . . . . . . . 8 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
14 eleq2 2838 . . . . . . . . 9 ((𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ 𝑤 ∈ ∅))
15 noel 4065 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝑤 ∈ ∅
1615pm2.21i 117 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ∅ → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
1714, 16syl6bi 243 . . . . . . . 8 ((𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
1813, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
19183adant2 1124 . . . . . 6 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
2019ralrimiv 3113 . . . . 5 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
21 rabeq0 4101 . . . . 5 ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
2220, 21sylibr 224 . . . 4 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} = ∅)
2322fveq2d 6336 . . 3 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = (♯‘∅))
24 hash0 13359 . . 3 (♯‘∅) = 0
2523, 24syl6eq 2820 . 2 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = 0)
267, 25eqtrd 2804 1 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∀wral 3060  {crab 3064  ∅c0 4061   class class class wbr 4784  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792   ↦ cmpt2 6794  0cc0 10137  ℕcn 11221  ℕ0cn0 11493  ♯chash 13320  Vtxcvtx 26094  Edgcedg 26159  USGraphcusgr 26265  RegUSGraphcrusgr 26686   WWalksN cwwlksn 26953 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-xadd 12151  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13494  df-edg 26160  df-uhgr 26173  df-upgr 26197  df-uspgr 26266  df-usgr 26267  df-vtxdg 26596  df-rgr 26687  df-rusgr 26688  df-wwlks 26957  df-wwlksn 26958 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator