MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rusgr0edg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rusgr0edg 27119
Description: Special case for graphs without edges: There are no walks of length greater than 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rusgrnumwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
rusgrnumwwlk.l 𝐿 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))
Assertion
Ref Expression
rusgr0edg ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = 0)
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑃,𝑛,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem rusgr0edg
StepHypRef Expression
1 simp2 1130 . . 3 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑃𝑉)
2 nnnn0 11500 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
323ad2ant3 1128 . . 3 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 rusgrnumwwlk.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5 rusgrnumwwlk.l . . . 4 𝐿 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))
64, 5rusgrnumwwlklem 27116 . . 3 ((𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐿𝑁) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
71, 3, 6syl2anc 565 . 2 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
8 rusgrusgr 26694 . . . . . . . . . 10 (𝐺RegUSGraph0 → 𝐺 ∈ USGraph)
9 usgr0edg0rusgr 26705 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺RegUSGraph0 ↔ (Edg‘𝐺) = ∅))
109biimpcd 239 . . . . . . . . . 10 (𝐺RegUSGraph0 → (𝐺 ∈ USGraph → (Edg‘𝐺) = ∅))
118, 10mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝐺RegUSGraph0 → (Edg‘𝐺) = ∅)
12 0enwwlksnge1 26997 . . . . . . . . 9 (((Edg‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
1311, 12sylan 561 . . . . . . . 8 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅)
14 eleq2 2838 . . . . . . . . 9 ((𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ 𝑤 ∈ ∅))
15 noel 4065 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝑤 ∈ ∅
1615pm2.21i 117 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ∅ → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
1714, 16syl6bi 243 . . . . . . . 8 ((𝑁 WWalksN 𝐺) = ∅ → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
1813, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
19183adant2 1124 . . . . . 6 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ¬ (𝑤‘0) = 𝑃))
2019ralrimiv 3113 . . . . 5 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
21 rabeq0 4101 . . . . 5 ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ¬ (𝑤‘0) = 𝑃)
2220, 21sylibr 224 . . . 4 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} = ∅)
2322fveq2d 6336 . . 3 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = (♯‘∅))
24 hash0 13359 . . 3 (♯‘∅) = 0
2523, 24syl6eq 2820 . 2 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = 0)
267, 25eqtrd 2804 1 ((𝐺RegUSGraph0 ∧ 𝑃𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃𝐿𝑁) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  {crab 3064  c0 4061   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  cmpt2 6794  0cc0 10137  cn 11221  0cn0 11493  chash 13320  Vtxcvtx 26094  Edgcedg 26159  USGraphcusgr 26265  RegUSGraphcrusgr 26686   WWalksN cwwlksn 26953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-xadd 12151  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13494  df-edg 26160  df-uhgr 26173  df-upgr 26197  df-uspgr 26266  df-usgr 26267  df-vtxdg 26596  df-rgr 26687  df-rusgr 26688  df-wwlks 26957  df-wwlksn 26958
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator