MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ruclem7 15171
Description: Lemma for ruc 15178. Successor value for the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ (((1st𝑥) + (2nd𝑥)) / 2) / 𝑚if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd𝑥)) / 2), (2nd𝑥)⟩)))
ruc.4 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
ruc.5 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
Assertion
Ref Expression
ruclem7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐹   𝑚,𝐺,𝑥,𝑦   𝑚,𝑁,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem7
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0uz 11924 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
31, 2syl6eleq 2860 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
4 seqp1 13023 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
53, 4syl 17 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
6 ruc.5 . . . 4 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
76fveq1i 6333 . . 3 (𝐺‘(𝑁 + 1)) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1))
86fveq1i 6333 . . . 4 (𝐺𝑁) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)
98oveq1i 6803 . . 3 ((𝐺𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1)))
105, 7, 93eqtr4g 2830 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
11 nn0p1nn 11534 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1211adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1312nnne0d 11267 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≠ 0)
1413necomd 2998 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≠ (𝑁 + 1))
15 ruc.4 . . . . . . 7 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
1615equncomi 3910 . . . . . 6 𝐶 = (𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})
1716fveq1i 6333 . . . . 5 (𝐶‘(𝑁 + 1)) = ((𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})‘(𝑁 + 1))
18 fvunsn 6589 . . . . 5 (0 ≠ (𝑁 + 1) → ((𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
1917, 18syl5eq 2817 . . . 4 (0 ≠ (𝑁 + 1) → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
2014, 19syl 17 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
2120oveq2d 6809 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))) = ((𝐺𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))
2210, 21eqtrd 2805 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  csb 3682  cun 3721  ifcif 4225  {csn 4316  cop 4322   class class class wbr 4786   × cxp 5247  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cmpt2 6795  1st c1st 7313  2nd c2nd 7314  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   < clt 10276   / cdiv 10886  cn 11222  2c2 11272  0cn0 11494  cuz 11888  seqcseq 13008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-seq 13009
This theorem is referenced by:  ruclem8  15172  ruclem9  15173  ruclem12  15176
  Copyright terms: Public domain W3C validator