MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ruclem4 15083
Description: Lemma for ruc 15092. Initial value of the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ (((1st𝑥) + (2nd𝑥)) / 2) / 𝑚if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd𝑥)) / 2), (2nd𝑥)⟩)))
ruc.4 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
ruc.5 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
Assertion
Ref Expression
ruclem4 (𝜑 → (𝐺‘0) = ⟨0, 1⟩)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐹   𝑚,𝐺,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem4
StepHypRef Expression
1 ruc.5 . . 3 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
21fveq1i 6305 . 2 (𝐺‘0) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘0)
3 0z 11501 . . 3 0 ∈ ℤ
4 ruc.4 . . . . . 6 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
5 dfn2 11418 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
65reseq2i 5500 . . . . . . . 8 (𝐹 ↾ ℕ) = (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
7 ruc.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
8 ffn 6158 . . . . . . . . 9 (𝐹:ℕ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℕ)
9 fnresdm 6113 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn ℕ → (𝐹 ↾ ℕ) = 𝐹)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℕ) = 𝐹)
116, 10syl5reqr 2773 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
1211uneq2d 3875 . . . . . 6 (𝜑 → ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹) = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))))
134, 12syl5eq 2770 . . . . 5 (𝜑𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))))
1413fveq1d 6306 . . . 4 (𝜑 → (𝐶‘0) = (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))‘0))
15 c0ex 10147 . . . . 5 0 ∈ V
16 opex 5037 . . . . 5 ⟨0, 1⟩ ∈ V
17 eqid 2724 . . . . 5 ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
1815, 16, 17fvsnun1 6564 . . . 4 (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))‘0) = ⟨0, 1⟩
1914, 18syl6eq 2774 . . 3 (𝜑 → (𝐶‘0) = ⟨0, 1⟩)
203, 19seq1i 12930 . 2 (𝜑 → (seq0(𝐷, 𝐶)‘0) = ⟨0, 1⟩)
212, 20syl5eq 2770 1 (𝜑 → (𝐺‘0) = ⟨0, 1⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1596  csb 3639  cdif 3677  cun 3678  ifcif 4194  {csn 4285  cop 4291   class class class wbr 4760   × cxp 5216  cres 5220   Fn wfn 5996  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  cmpt2 6767  1st c1st 7283  2nd c2nd 7284  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   < clt 10187   / cdiv 10797  cn 11133  2c2 11183  0cn0 11405  seqcseq 12916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-seq 12917
This theorem is referenced by:  ruclem6  15084  ruclem8  15086  ruclem11  15089
  Copyright terms: Public domain W3C validator