MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ruclem3 15006
Description: Lemma for ruc 15016. The constructed interval [𝑋, 𝑌] always excludes 𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ (((1st𝑥) + (2nd𝑥)) / 2) / 𝑚if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd𝑥)) / 2), (2nd𝑥)⟩)))
ruclem1.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ruclem1.4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ruclem1.5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
ruclem1.6 𝑋 = (1st ‘(⟨𝐴, 𝐵𝐷𝑀))
ruclem1.7 𝑌 = (2nd ‘(⟨𝐴, 𝐵𝐷𝑀))
ruclem2.8 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ruclem3 (𝜑 → (𝑀 < 𝑋𝑌 < 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝐵,𝑚,𝑥,𝑦   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦   𝑚,𝑀,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑚)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem3
StepHypRef Expression
1 ruclem1.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2 ruclem1.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ruclem1.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
42, 3readdcld 10107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
54rehalfcld 11317 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
61, 5lenltd 10221 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ↔ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀))
7 ruclem2.8 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
8 avglt2 11309 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
92, 3, 8syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵))
107, 9mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵)
11 avglt1 11308 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
125, 3, 11syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝐵 ↔ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
1310, 12mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
145, 3readdcld 10107 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) ∈ ℝ)
1514rehalfcld 11317 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) ∈ ℝ)
16 lelttr 10166 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ ℝ ∧ ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
171, 5, 15, 16syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
1813, 17mpan2d 710 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ≤ ((𝐴 + 𝐵) / 2) → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
196, 18sylbird 250 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
2019imp 444 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑀 < ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
21 ruc.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
22 ruc.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ (((1st𝑥) + (2nd𝑥)) / 2) / 𝑚if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd𝑥)) / 2), (2nd𝑥)⟩)))
23 ruclem1.6 . . . . . . . . 9 𝑋 = (1st ‘(⟨𝐴, 𝐵𝐷𝑀))
24 ruclem1.7 . . . . . . . . 9 𝑌 = (2nd ‘(⟨𝐴, 𝐵𝐷𝑀))
2521, 22, 2, 3, 1, 23, 24ruclem1 15004 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵𝐷𝑀) ∈ (ℝ × ℝ) ∧ 𝑋 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) ∧ 𝑌 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵)))
2625simp2d 1094 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)))
27 iffalse 4128 . . . . . . 7 (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, 𝐴, ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2)) = ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
2826, 27sylan9eq 2705 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑋 = ((((𝐴 + 𝐵) / 2) + 𝐵) / 2))
2920, 28breqtrrd 4713 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑀 < 𝑋)
3029ex 449 . . . 4 (𝜑 → (¬ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀𝑀 < 𝑋))
3130con1d 139 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑀 < 𝑋 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀))
3225simp3d 1095 . . . . . 6 (𝜑𝑌 = if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵))
33 iftrue 4125 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀 → if(((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀, ((𝐴 + 𝐵) / 2), 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
3432, 33sylan9eq 2705 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑌 = ((𝐴 + 𝐵) / 2))
35 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀)
3634, 35eqbrtrd 4707 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀) → 𝑌 < 𝑀)
3736ex 449 . . 3 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐵) / 2) < 𝑀𝑌 < 𝑀))
3831, 37syld 47 . 2 (𝜑 → (¬ 𝑀 < 𝑋𝑌 < 𝑀))
3938orrd 392 1 (𝜑 → (𝑀 < 𝑋𝑌 < 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  csb 3566  ifcif 4119  cop 4216   class class class wbr 4685   × cxp 5141  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  1st c1st 7208  2nd c2nd 7209  cr 9973   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117
This theorem is referenced by:  ruclem12  15014
  Copyright terms: Public domain W3C validator