MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rtrclreclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rtrclreclem2 14018
Description: The reflexive, transitive closure is indeed a closure. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rtrclreclem.ex (𝜑𝑅 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem2 (𝜑𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅))

Proof of Theorem rtrclreclem2
Dummy variables 𝑟 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 11520 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
2 ssid 3765 . . . . . . 7 𝑅𝑅
32a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑅𝑅)
4 rtrclreclem.ex . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ V)
54relexp1d 13990 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅𝑟1) = 𝑅)
63, 5sseqtr4d 3783 . . . . 5 (𝜑𝑅 ⊆ (𝑅𝑟1))
7 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (𝑅𝑟𝑛) = (𝑅𝑟1))
87sseq2d 3774 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑅 ⊆ (𝑅𝑟𝑛) ↔ 𝑅 ⊆ (𝑅𝑟1)))
98rspcev 3449 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ0𝑅 ⊆ (𝑅𝑟1)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑅 ⊆ (𝑅𝑟𝑛))
101, 6, 9sylancr 698 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑅 ⊆ (𝑅𝑟𝑛))
11 ssiun 4714 . . . 4 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑅 ⊆ (𝑅𝑟𝑛) → 𝑅 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛))
1210, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛))
13 eqidd 2761 . . . 4 (𝜑 → (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛)) = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛)))
14 oveq1 6821 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝑟𝑛) = (𝑅𝑟𝑛))
1514iuneq2d 4699 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛))
1615adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑟 = 𝑅) → 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛))
17 nn0ex 11510 . . . . . 6 0 ∈ V
18 ovex 6842 . . . . . 6 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
1917, 18iunex 7313 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V
2019a1i 11 . . . 4 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛) ∈ V)
2113, 16, 4, 20fvmptd 6451 . . 3 (𝜑 → ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛))‘𝑅) = 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑅𝑟𝑛))
2212, 21sseqtr4d 3783 . 2 (𝜑𝑅 ⊆ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛))‘𝑅))
23 df-rtrclrec 14015 . . 3 t*rec = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛))
24 fveq1 6352 . . . . 5 (t*rec = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛)) → (t*rec‘𝑅) = ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛))‘𝑅))
2524sseq2d 3774 . . . 4 (t*rec = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛)) → (𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅) ↔ 𝑅 ⊆ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛))‘𝑅)))
2625imbi2d 329 . . 3 (t*rec = (𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛)) → ((𝜑𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅)) ↔ (𝜑𝑅 ⊆ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛))‘𝑅))))
2723, 26ax-mp 5 . 2 ((𝜑𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅)) ↔ (𝜑𝑅 ⊆ ((𝑟 ∈ V ↦ 𝑛 ∈ ℕ0 (𝑟𝑟𝑛))‘𝑅)))
2822, 27mpbir 221 1 (𝜑𝑅 ⊆ (t*rec‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  Vcvv 3340  wss 3715   ciun 4672  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6814  1c1 10149  0cn0 11504  𝑟crelexp 13979  t*reccrtrcl 14014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-seq 13016  df-relexp 13980  df-rtrclrec 14015
This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  14021
  Copyright terms: Public domain W3C validator