MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rspssid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rspssid 19445
Description: The span of a set of ring elements contains those elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rspcl.k 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rspcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
rspssid ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → 𝐺 ⊆ (𝐾𝐺))

Proof of Theorem rspssid
StepHypRef Expression
1 rlmlmod 19427 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2 rspcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 rlmbas 19417 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
42, 3eqtri 2782 . . 3 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
5 rspcl.k . . . 4 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
6 rspval 19415 . . . 4 (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
75, 6eqtri 2782 . . 3 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
84, 7lspssid 19207 . 2 (((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod ∧ 𝐺𝐵) → 𝐺 ⊆ (𝐾𝐺))
91, 8sylan 489 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → 𝐺 ⊆ (𝐾𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  cfv 6049  Basecbs 16079  Ringcrg 18767  LModclmod 19085  LSpanclspn 19193  ringLModcrglmod 19391  RSpancrsp 19393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-subg 17812  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-subrg 19000  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-rsp 19397
This theorem is referenced by:  rsp1  19446  lidldvgen  19477  lnr2i  38206  hbtlem6  38219  hbt  38220
  Copyright terms: Public domain W3C validator