Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxmfval 23408
 Description: The value of the Euclidean metric. Compare with rrnval 33958. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
rrxmfval (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑓 supp 0) ∪ (𝑔 supp 0))(((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓,𝑔   𝑓,,𝑘,𝑔,𝐼   𝑓,𝑉,𝑔,,𝑘   𝑓,𝑋,𝑔,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐷(,𝑘)   𝑋()

Proof of Theorem rrxmfval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . . . 5 (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))
2 fvex 6344 . . . . 5 (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))) ∈ V
31, 2fnmpt2i 7393 . . . 4 (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) Fn ((Base‘(ℝ^‘𝐼)) × (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
4 eqid 2771 . . . . . . 7 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
5 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
64, 5rrxds 23400 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
7 rrxmval.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
86, 7syl6reqr 2824 . . . . 5 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
94, 5rrxbase 23395 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0})
10 rrxmval.1 . . . . . . 7 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}
119, 10syl6reqr 2824 . . . . . 6 (𝐼𝑉𝑋 = (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
1211sqxpeqd 5281 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑋 × 𝑋) = ((Base‘(ℝ^‘𝐼)) × (Base‘(ℝ^‘𝐼))))
138, 12fneq12d 6122 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) Fn ((Base‘(ℝ^‘𝐼)) × (Base‘(ℝ^‘𝐼)))))
143, 13mpbiri 248 . . 3 (𝐼𝑉𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
15 fnov 6919 . . 3 (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (𝑓𝐷𝑔)))
1614, 15sylib 208 . 2 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (𝑓𝐷𝑔)))
1710, 7rrxmval 23407 . . 3 ((𝐼𝑉𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑓𝐷𝑔) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑓 supp 0) ∪ (𝑔 supp 0))(((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
1817mpt2eq3dva 6870 . 2 (𝐼𝑉 → (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (𝑓𝐷𝑔)) = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑓 supp 0) ∪ (𝑔 supp 0))(((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
1916, 18eqtrd 2805 1 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑓 supp 0) ∪ (𝑔 supp 0))(((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {crab 3065   ∪ cun 3721   class class class wbr 4787   ↦ cmpt 4864   × cxp 5248   Fn wfn 6025  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796   ↦ cmpt2 6798   supp csupp 7450   ↑𝑚 cmap 8013   finSupp cfsupp 8435  ℝcr 10141  0cc0 10142   − cmin 10472  2c2 11276  ↑cexp 13067  √csqrt 14181  Σcsu 14624  Basecbs 16064  distcds 16158   Σg cgsu 16309  ℝfldcrefld 20167  ℝ^crrx 23390 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-tpos 7508  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-sup 8508  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-prds 16316  df-pws 16318  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-oppr 18831  df-dvdsr 18849  df-unit 18850  df-invr 18880  df-dvr 18891  df-rnghom 18925  df-drng 18959  df-field 18960  df-subrg 18988  df-staf 19055  df-srng 19056  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-cnfld 19962  df-refld 20168  df-dsmm 20293  df-frlm 20308  df-nm 22607  df-tng 22609  df-tch 23188  df-rrx 23392 This theorem is referenced by:  rrxmet  23410
 Copyright terms: Public domain W3C validator