Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxmetfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxmetfi 41010
Description: Euclidean space is a metric space. Finite dimensional version. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rrxmetfi.1 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
rrxmetfi (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)))

Proof of Theorem rrxmetfi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . 3 { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0} = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}
2 rrxmetfi.1 . . 3 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
31, 2rrxmet 23391 . 2 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘{ ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}))
4 eqid 2760 . . . . . 6 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
5 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
64, 5rrxbase 23376 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0})
76eqcomd 2766 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0} = (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
8 id 22 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
98, 4, 5rrxbasefi 41006 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
107, 9eqtrd 2794 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0} = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
1110fveq2d 6356 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (Met‘{ ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}) = (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)))
123, 11eleqtrd 2841 1 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2139  {crab 3054   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑚 cmap 8023  Fincfn 8121   finSupp cfsupp 8440  cr 10127  0cc0 10128  Basecbs 16059  distcds 16152  Metcme 19934  ℝ^crrx 23371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ico 12374  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-prds 16310  df-pws 16312  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-cring 18750  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-dvr 18883  df-rnghom 18917  df-drng 18951  df-field 18952  df-subrg 18980  df-staf 19047  df-srng 19048  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-sra 19374  df-rgmod 19375  df-met 19942  df-cnfld 19949  df-refld 20153  df-dsmm 20278  df-frlm 20293  df-nm 22588  df-tng 22590  df-tch 23169  df-rrx 23373
This theorem is referenced by:  qndenserrnbllem  41017  qndenserrnbl  41018  qndenserrnopnlem  41020  rrndsmet  41025  hoiqssbllem2  41343  hoiqssbl  41345  opnvonmbllem2  41353
  Copyright terms: Public domain W3C validator