MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxds 23402
Description: The distance over generalized Euclidean spaces. Compare with df-rrn 33957. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 20-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
rrxds (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘𝐻))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝐵   𝑓,𝐼,𝑔,𝑥   𝑓,𝑉,𝑔,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rrxds
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxval.r . . . 4 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
21rrxval 23396 . . 3 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
32fveq2d 6358 . 2 (𝐼𝑉 → (dist‘𝐻) = (dist‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
4 recrng 20190 . . . . 5 fld ∈ *-Ring
5 srngring 19075 . . . . 5 (ℝfld ∈ *-Ring → ℝfld ∈ Ring)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 fld ∈ Ring
7 eqid 2761 . . . . 5 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
87frlmlmod 20316 . . . 4 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
96, 8mpan 708 . . 3 (𝐼𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
10 lmodgrp 19093 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ LMod → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp)
11 eqid 2761 . . . 4 (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
12 eqid 2761 . . . 4 (norm‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (norm‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
13 eqid 2761 . . . 4 (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
1411, 12, 13tchds 23251 . . 3 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp → ((norm‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∘ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (dist‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
159, 10, 143syl 18 . 2 (𝐼𝑉 → ((norm‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∘ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (dist‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
16 eqid 2761 . . . . . . . 8 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
1716, 13grpsubf 17716 . . . . . . 7 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ Grp → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):((Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) × (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))⟶(Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
189, 10, 173syl 18 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):((Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) × (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))⟶(Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
19 rrxbase.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐻)
201, 19rrxbase 23397 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉𝐵 = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0})
21 rebase 20175 . . . . . . . . . . 11 ℝ = (Base‘ℝfld)
22 re0g 20181 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g‘ℝfld)
23 eqid 2761 . . . . . . . . . . 11 { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0} = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}
247, 21, 22, 23frlmbas 20322 . . . . . . . . . 10 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0} = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
256, 24mpan 708 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0} = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2620, 25eqtrd 2795 . . . . . . . 8 (𝐼𝑉𝐵 = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2726sqxpeqd 5299 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝐵 × 𝐵) = ((Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) × (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2827, 26feq23d 6202 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → ((-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ↔ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):((Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) × (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))⟶(Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
2918, 28mpbird 247 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
3029fovrnda 6972 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) ∈ 𝐵)
31 ffn 6207 . . . . . 6 ((-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)):(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) Fn (𝐵 × 𝐵))
3229, 31syl 17 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) Fn (𝐵 × 𝐵))
33 fnov 6935 . . . . 5 ((-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)))
3432, 33sylib 208 . . . 4 (𝐼𝑉 → (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)))
351, 19rrxnm 23400 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)↑2))))) = (norm‘𝐻))
362fveq2d 6358 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (norm‘𝐻) = (norm‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
3735, 36eqtr2d 2796 . . . 4 (𝐼𝑉 → (norm‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)↑2))))))
38 fveq1 6353 . . . . . . . 8 ( = (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) → (𝑥) = ((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥))
3938oveq1d 6830 . . . . . . 7 ( = (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) → ((𝑥)↑2) = (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2))
4039mpteq2dv 4898 . . . . . 6 ( = (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2)))
4140oveq2d 6831 . . . . 5 ( = (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)↑2))) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2))))
4241fveq2d 6358 . . . 4 ( = (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑥)↑2)))) = (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2)))))
4330, 34, 37, 42fmpt2co 7430 . . 3 (𝐼𝑉 → ((norm‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∘ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2))))))
44 simp1 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝐼𝑉)
45 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓𝐵)
4626adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
4745, 46eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
48473impb 1108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
497, 21, 16frlmbasmap 20326 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
5044, 48, 49syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
51 elmapi 8048 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
53 ffn 6207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐼⟶ℝ → 𝑓 Fn 𝐼)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑓 Fn 𝐼)
55 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔𝐵)
5655, 46eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝑔 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
57563impb 1108 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
587, 21, 16frlmbasmap 20326 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑔 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
5944, 57, 58syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
60 elmapi 8048 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
62 ffn 6207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:𝐼⟶ℝ → 𝑔 Fn 𝐼)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → 𝑔 Fn 𝐼)
64 inidm 3966 . . . . . . . . . . 11 (𝐼𝐼) = 𝐼
65 eqidd 2762 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
66 eqidd 2762 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
6754, 63, 44, 44, 64, 65, 66offval 7071 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑓𝑓 (-g‘ℝfld)𝑔) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(-g‘ℝfld)(𝑔𝑥))))
686a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → ℝfld ∈ Ring)
69 simpl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → 𝐼𝑉)
70 eqid 2761 . . . . . . . . . . . 12 (-g‘ℝfld) = (-g‘ℝfld)
717, 16, 68, 69, 47, 56, 70, 13frlmsubgval 20331 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓𝐵𝑔𝐵)) → (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) = (𝑓𝑓 (-g‘ℝfld)𝑔))
72713impb 1108 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) = (𝑓𝑓 (-g‘ℝfld)𝑔))
7352ffvelrnda 6524 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
7461ffvelrnda 6524 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
7570resubgval 20178 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑔𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥)(-g‘ℝfld)(𝑔𝑥)))
7673, 74, 75syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥)(-g‘ℝfld)(𝑔𝑥)))
7776mpteq2dva 4897 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(-g‘ℝfld)(𝑔𝑥))))
7867, 72, 773eqtr4d 2805 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))))
7973, 74resubcld 10671 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
8078, 79fvmpt2d 6457 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)))
8180oveq1d 6830 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2) = (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))
8281mpteq2dva 4897 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))
8382oveq2d 6831 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2))) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))
8483fveq2d 6358 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑓𝐵𝑔𝐵) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2)))) = (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))
8584mpt2eq3dva 6886 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓(-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑔)‘𝑥)↑2))))) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
8643, 85eqtrd 2795 . 2 (𝐼𝑉 → ((norm‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∘ (-g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
873, 15, 863eqtr2rd 2802 1 (𝐼𝑉 → (𝑓𝐵, 𝑔𝐵 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  {crab 3055   class class class wbr 4805  cmpt 4882   × cxp 5265  ccom 5271   Fn wfn 6045  wf 6046  cfv 6050  (class class class)co 6815  cmpt2 6817  𝑓 cof 7062  𝑚 cmap 8026   finSupp cfsupp 8443  cr 10148  0cc0 10149  cmin 10479  2c2 11283  cexp 13075  csqrt 14193  Basecbs 16080  distcds 16173   Σg cgsu 16324  Grpcgrp 17644  -gcsg 17646  Ringcrg 18768  *-Ringcsr 19067  LModclmod 19086  fldcrefld 20173   freeLMod cfrlm 20313  normcnm 22603  toℂHilctch 23188  ℝ^crrx 23392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228  ax-mulf 10229
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-tpos 7523  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-sup 8516  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fz 12541  df-seq 13017  df-exp 13076  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-hom 16189  df-cco 16190  df-0g 16325  df-prds 16331  df-pws 16333  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-mhm 17557  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-sbg 17649  df-subg 17813  df-ghm 17880  df-cmn 18416  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-cring 18771  df-oppr 18844  df-dvdsr 18862  df-unit 18863  df-invr 18893  df-dvr 18904  df-rnghom 18938  df-drng 18972  df-field 18973  df-subrg 19001  df-staf 19068  df-srng 19069  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-sra 19395  df-rgmod 19396  df-cnfld 19970  df-refld 20174  df-dsmm 20299  df-frlm 20314  df-nm 22609  df-tng 22611  df-tch 23190  df-rrx 23394
This theorem is referenced by:  rrxmval  23409  rrxmfval  23410  rrxtopn  41023  rrxdsfi  41027
  Copyright terms: Public domain W3C validator