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Theorem rrxcph 23226
Description: Generalized Euclidean real spaces are pre-Hilbert spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
rrxcph (𝐼𝑉𝐻 ∈ ℂPreHil)

Proof of Theorem rrxcph
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxval.r . . 3 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
21rrxval 23221 . 2 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
3 eqid 2651 . . 3 (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
4 eqid 2651 . . 3 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
5 eqid 2651 . . 3 (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
6 eqid 2651 . . . 4 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
7 rebase 20000 . . . 4 ℝ = (Base‘ℝfld)
8 remulr 20005 . . . 4 · = (.r‘ℝfld)
9 eqid 2651 . . . 4 (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
10 eqid 2651 . . . 4 (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
11 re0g 20006 . . . 4 0 = (0g‘ℝfld)
12 refldcj 20014 . . . 4 ∗ = (*𝑟‘ℝfld)
13 refld 20013 . . . . 5 fld ∈ Field
1413a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → ℝfld ∈ Field)
15 fconstmpt 5197 . . . . 5 (𝐼 × {0}) = (𝑥𝐼 ↦ 0)
166, 7, 4frlmbasf 20152 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
17 ffn 6083 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐼⟶ℝ → 𝑓 Fn 𝐼)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓 Fn 𝐼)
19183adant3 1101 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → 𝑓 Fn 𝐼)
20 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝐼𝑉)
2113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → ℝfld ∈ Field)
22 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
236, 7, 8, 4, 9frlmipval 20166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐼𝑉 ∧ ℝfld ∈ Field) ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Σg (𝑓𝑓 · 𝑓)))
2420, 21, 22, 22, 23syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Σg (𝑓𝑓 · 𝑓)))
25 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) ∈ V)
26 inidm 3855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼𝐼) = 𝐼
27 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
2818, 18, 20, 20, 26, 27, 27offval 6946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓𝑓 · 𝑓) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥))))
2918, 18, 20, 20, 26, 27, 27ofval 6948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
3016ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
3130, 30remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) ∈ ℝ)
3229, 31eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) ∈ ℝ)
3325, 28, 32fmpt2d 6433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓𝑓 · 𝑓):𝐼⟶ℝ)
34 ovexd 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓𝑓 · 𝑓) ∈ V)
35 ffun 6086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓𝑓 · 𝑓):𝐼⟶ℝ → Fun (𝑓𝑓 · 𝑓))
3633, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → Fun (𝑓𝑓 · 𝑓))
376, 11, 4frlmbasfsupp 20150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓 finSupp 0)
38 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 0 ∈ ℝ)
39 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
4039recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
4140mul02d 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
4220, 38, 16, 16, 41suppofss1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ (𝑓 supp 0))
43 fsuppsssupp 8332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑓𝑓 · 𝑓) ∈ V ∧ Fun (𝑓𝑓 · 𝑓)) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ (𝑓 supp 0))) → (𝑓𝑓 · 𝑓) finSupp 0)
4434, 36, 37, 42, 43syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓𝑓 · 𝑓) finSupp 0)
45 regsumsupp 20016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓𝑓 · 𝑓):𝐼⟶ℝ ∧ (𝑓𝑓 · 𝑓) finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → (ℝfld Σg (𝑓𝑓 · 𝑓)) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥))
4633, 44, 20, 45syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (ℝfld Σg (𝑓𝑓 · 𝑓)) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥))
47 suppssdm 7353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 supp 0) ⊆ dom 𝑓
48 fdm 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓:𝐼⟶ℝ → dom 𝑓 = 𝐼)
4916, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → dom 𝑓 = 𝐼)
5047, 49syl5sseq 3686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓 supp 0) ⊆ 𝐼)
5142, 50sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ 𝐼)
5251sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → 𝑥𝐼)
5352, 29syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
5453sumeq2dv 14477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
5546, 54eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (ℝfld Σg (𝑓𝑓 · 𝑓)) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
5624, 55eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
57563adant3 1101 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
58 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0)
5957, 58eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0)
6037fsuppimpd 8323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓 supp 0) ∈ Fin)
61 ssfi 8221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ (𝑓 supp 0)) → ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∈ Fin)
6260, 42, 61syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∈ Fin)
6352, 31syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) ∈ ℝ)
6430msqge0d 10634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ≤ ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
6552, 64syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → 0 ≤ ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
6662, 63, 65fsum00 14574 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0))
67663adant3 1101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0))
6859, 67mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → ∀𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0)
6968r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0)
7069adantlr 751 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0)
71303adantl3 1239 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
7271recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
7372, 72mul0ord 10715 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0 ↔ ((𝑓𝑥) = 0 ∨ (𝑓𝑥) = 0)))
7473adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → (((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0 ↔ ((𝑓𝑥) = 0 ∨ (𝑓𝑥) = 0)))
7570, 74mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓𝑥) = 0 ∨ (𝑓𝑥) = 0))
76 oridm 535 . . . . . . . . 9 (((𝑓𝑥) = 0 ∨ (𝑓𝑥) = 0) ↔ (𝑓𝑥) = 0)
7775, 76sylib 208 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → (𝑓𝑥) = 0)
78333adant3 1101 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (𝑓𝑓 · 𝑓):𝐼⟶ℝ)
7978adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑓 · 𝑓):𝐼⟶ℝ)
80 ssid 3657 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))
82 simpl1 1084 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼𝑉)
83 0red 10079 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ∈ ℝ)
8479, 81, 82, 83suppssr 7371 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))) → ((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = 0)
85293adantl3 1239 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
8685eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0))
8786, 73bitrd 268 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝑓𝑥) = 0 ∨ (𝑓𝑥) = 0)))
8887, 76syl6bb 276 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = 0 ↔ (𝑓𝑥) = 0))
8988biimpa 500 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = 0) → (𝑓𝑥) = 0)
9084, 89syldan 486 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))) → (𝑓𝑥) = 0)
91 undif 4082 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ 𝐼 ↔ (((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))) = 𝐼)
9251, 91sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))) = 𝐼)
9392eleq2d 2716 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑥 ∈ (((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))) ↔ 𝑥𝐼))
94933adant3 1101 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (𝑥 ∈ (((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))) ↔ 𝑥𝐼))
9594biimpar 501 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ (((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))))
96 elun 3786 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))))
9795, 96sylib 208 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))))
9877, 90, 97mpjaodan 844 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) = 0)
9998ralrimiva 2995 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) = 0)
100 fconstfv 6517 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟶{0} ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) = 0))
101 c0ex 10072 . . . . . . . 8 0 ∈ V
102101fconst2 6511 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟶{0} ↔ 𝑓 = (𝐼 × {0}))
103100, 102sylbb1 227 . . . . . 6 ((𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) = 0) → 𝑓 = (𝐼 × {0}))
10419, 99, 103syl2anc 694 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → 𝑓 = (𝐼 × {0}))
105 isfld 18804 . . . . . . . . . . 11 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
10613, 105mpbi 220 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing)
107106simpli 473 . . . . . . . . 9 fld ∈ DivRing
108 drngring 18802 . . . . . . . . 9 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
1106, 11frlm0 20146 . . . . . . . 8 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {0}) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
111109, 110mpan 706 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝐼 × {0}) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
11215, 111syl5reqr 2700 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (𝑥𝐼 ↦ 0))
1131123ad2ant1 1102 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (𝑥𝐼 ↦ 0))
11415, 104, 1133eqtr4a 2711 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → 𝑓 = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
115 cjre 13923 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (∗‘𝑥) = 𝑥)
116115adantl 481 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ ℝ) → (∗‘𝑥) = 𝑥)
117 id 22 . . . 4 (𝐼𝑉𝐼𝑉)
1186, 7, 8, 4, 9, 10, 11, 12, 14, 114, 116, 117frlmphl 20168 . . 3 (𝐼𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ PreHil)
119 df-refld 19999 . . . 4 fld = (ℂflds ℝ)
1206frlmsca 20145 . . . . 5 ((ℝfld ∈ Field ∧ 𝐼𝑉) → ℝfld = (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
12113, 120mpan 706 . . . 4 (𝐼𝑉 → ℝfld = (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
122119, 121syl5reqr 2700 . . 3 (𝐼𝑉 → (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (ℂflds ℝ))
123 simpr1 1087 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑓)) → 𝑓 ∈ ℝ)
124 simpr3 1089 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑓)) → 0 ≤ 𝑓)
125123, 124resqrtcld 14200 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑓)) → (√‘𝑓) ∈ ℝ)
12662, 63, 65fsumge0 14571 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 0 ≤ Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
127126, 55breqtrrd 4713 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 0 ≤ (ℝfld Σg (𝑓𝑓 · 𝑓)))
128127, 24breqtrrd 4713 . . 3 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 0 ≤ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))
1293, 4, 5, 118, 122, 9, 125, 128tchcph 23082 . 2 (𝐼𝑉 → (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∈ ℂPreHil)
1302, 129eqeltrd 2730 1 (𝐼𝑉𝐻 ∈ ℂPreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  dom cdm 5143  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937   supp csupp 7340  Fincfn 7997   finSupp cfsupp 8316  cr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979  cle 10113  ccj 13880  Σcsu 14460  Basecbs 15904  s cress 15905  Scalarcsca 15991  ·𝑖cip 15993  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594  DivRingcdr 18795  Fieldcfield 18796  fldccnfld 19794  fldcrefld 19998   freeLMod cfrlm 20138  ℂPreHilccph 23012  toℂHilctch 23013  ℝ^crrx 23217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-field 18798  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-staf 18893  df-srng 18894  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lmhm 19070  df-lvec 19151  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-refld 19999  df-phl 20019  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-xms 22172  df-ms 22173  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-tng 22436  df-nrg 22437  df-nlm 22438  df-clm 22909  df-cph 23014  df-tch 23015  df-rrx 23219
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