Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxbasefi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxbasefi 40821
 Description: The base of the generalized real Euclidean space, when the dimension of the space is finite. This justifies the use of (ℝ ↑𝑚 𝑋) for the development of the Lebeasgue measure theory for n-dimensional Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxbasefi.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
rrxbasefi.h 𝐻 = (ℝ^‘𝑋)
rrxbasefi.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
rrxbasefi (𝜑𝐵 = (ℝ ↑𝑚 𝑋))

Proof of Theorem rrxbasefi
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxbasefi.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 rrxbasefi.h . . . . 5 𝐻 = (ℝ^‘𝑋)
3 rrxbasefi.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐻)
42, 3rrxbase 23222 . . . 4 (𝑋 ∈ Fin → 𝐵 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
51, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐵 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
6 ssrab2 3720 . . . 4 {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋)
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
85, 7eqsstrd 3672 . 2 (𝜑𝐵 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
9 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
10 elmapi 7921 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
1110adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
121adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
13 c0ex 10072 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
1413a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 0 ∈ V)
1511, 12, 14fdmfifsupp 8326 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓 finSupp 0)
169, 15jca 553 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑓 finSupp 0))
17 rabid 3145 . . . . . 6 (𝑓 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} ↔ (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑓 finSupp 0))
1816, 17sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
195eqcomd 2657 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} = 𝐵)
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} = 𝐵)
2118, 20eleqtrd 2732 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓𝐵)
2221ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)𝑓𝐵)
23 dfss3 3625 . . 3 ((ℝ ↑𝑚 𝑋) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)𝑓𝐵)
2422, 23sylibr 224 . 2 (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝑋) ⊆ 𝐵)
258, 24eqssd 3653 1 (𝜑𝐵 = (ℝ ↑𝑚 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997   finSupp cfsupp 8316  ℝcr 9973  0cc0 9974  Basecbs 15904  ℝ^crrx 23217 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-field 18798  df-subrg 18826  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-cnfld 19795  df-refld 19999  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-tng 22436  df-tch 23015  df-rrx 23219 This theorem is referenced by:  rrxdsfi  40823  rrxtopnfi  40824  rrxmetfi  40825  rrxtoponfi  40829  qndenserrnopnlem  40835  qndenserrn  40837  rrnprjdstle  40839
 Copyright terms: Public domain W3C validator