Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrnval 33951
 Description: The n-dimensional Euclidean space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrnval (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐼   𝑘,𝑋,𝑥,𝑦

Proof of Theorem rrnval
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6800 . . . 4 (𝑖 = 𝐼 → (ℝ ↑𝑚 𝑖) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
2 rrnval.1 . . . 4 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
31, 2syl6eqr 2822 . . 3 (𝑖 = 𝐼 → (ℝ ↑𝑚 𝑖) = 𝑋)
4 sumeq1 14626 . . . 4 (𝑖 = 𝐼 → Σ𝑘𝑖 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
54fveq2d 6336 . . 3 (𝑖 = 𝐼 → (√‘Σ𝑘𝑖 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
63, 3, 5mpt2eq123dv 6863 . 2 (𝑖 = 𝐼 → (𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑖), 𝑦 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑖) ↦ (√‘Σ𝑘𝑖 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
7 df-rrn 33950 . 2 n = (𝑖 ∈ Fin ↦ (𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑖), 𝑦 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑖) ↦ (√‘Σ𝑘𝑖 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
8 fvrn0 6357 . . . . 5 (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
98rgen2w 3073 . . . 4 𝑥𝑋𝑦𝑋 (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ (ran √ ∪ {∅})
10 eqid 2770 . . . . 5 (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
1110fmpt2 7386 . . . 4 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ (ran √ ∪ {∅}) ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶(ran √ ∪ {∅}))
129, 11mpbi 220 . . 3 (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶(ran √ ∪ {∅})
13 ovex 6822 . . . . 5 (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∈ V
142, 13eqeltri 2845 . . . 4 𝑋 ∈ V
1514, 14xpex 7108 . . 3 (𝑋 × 𝑋) ∈ V
16 cnex 10218 . . . . 5 ℂ ∈ V
17 sqrtf 14310 . . . . . 6 √:ℂ⟶ℂ
18 frn 6193 . . . . . 6 (√:ℂ⟶ℂ → ran √ ⊆ ℂ)
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 ran √ ⊆ ℂ
2016, 19ssexi 4934 . . . 4 ran √ ∈ V
21 p0ex 4981 . . . 4 {∅} ∈ V
2220, 21unex 7102 . . 3 (ran √ ∪ {∅}) ∈ V
23 fex2 7267 . . 3 (((𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶(ran √ ∪ {∅}) ∧ (𝑋 × 𝑋) ∈ V ∧ (ran √ ∪ {∅}) ∈ V) → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) ∈ V)
2412, 15, 22, 23mp3an 1571 . 2 (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) ∈ V
256, 7, 24fvmpt 6424 1 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∀wral 3060  Vcvv 3349   ∪ cun 3719   ⊆ wss 3721  ∅c0 4061  {csn 4314   × cxp 5247  ran crn 5250  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792   ↦ cmpt2 6794   ↑𝑚 cmap 8008  Fincfn 8108  ℂcc 10135  ℝcr 10136   − cmin 10467  2c2 11271  ↑cexp 13066  √csqrt 14180  Σcsu 14623  ℝncrrn 33949 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-sum 14624  df-rrn 33950 This theorem is referenced by:  rrnmval  33952  rrnmet  33953
 Copyright terms: Public domain W3C validator