Theorem rrnequiv 33866

Description: The supremum metric on ℝ↑𝐼 is equivalent to the ℝⁿ metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnequiv.y	⊢ 𝑌 = ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)
rrnequiv.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
rrnequiv.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
rrnequiv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
rrnequiv	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹𝐷𝐺) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∧ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺))))

Proof of Theorem rrnequiv

Dummy variables 𝑘 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrnequiv.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
2		ovex 6793	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) ∈ V
3		rrnequiv.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
4	3	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐼 ∈ Fin)
5		rrnequiv.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)
6		reex 10140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ V
7		eqid 2724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) = (ℂfld ↾s ℝ)
8		eqid 2724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘ℂfld)
9	7, 8	resssca 16154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∈ V → (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂfld ↾s ℝ)))
10	6, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂfld ↾s ℝ))
11	5, 10	pwsval 16269	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂfld ↾s ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
12	2, 4, 11	sylancr 698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
13	12	fveq2d 6308	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (dist‘𝑌) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
14	1, 13	syl5eq 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐷 = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
15	14	oveqd 6782	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))𝐺))
16		fconstmpt 5272	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld ↾s ℝ))
17	16	oveq2i 6776	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})) = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld ↾s ℝ)))
18		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
19		fvexd 6316	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (Scalar‘ℂfld) ∈ V)
20	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (ℂfld ↾s ℝ) ∈ V)
21	20	ralrimiva 3068	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ 𝐼 (ℂfld ↾s ℝ) ∈ V)
22		simprl 811	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐹 ∈ 𝑋)
23		rrnequiv.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
24		ax-resscn 10106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
25		cnfldbas 19873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
26	7, 25	ressbas2 16054	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ℝ = (Base‘(ℂfld ↾s ℝ)))
27	24, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ = (Base‘(ℂfld ↾s ℝ))
28	5, 27	pwsbas 16270	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℂfld ↾s ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = (Base‘𝑌))
29	2, 4, 28	sylancr 698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = (Base‘𝑌))
30	12	fveq2d 6308	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
31	29, 30	eqtrd 2758	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
32	23, 31	syl5eq 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝑋 = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
33	22, 32	eleqtrd 2805	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐹 ∈ (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
34		simprr 813	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ 𝑋)
35	34, 32	eleqtrd 2805	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
36		cnfldds 19879	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
37	7, 36	ressds 16196	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂfld ↾s ℝ)))
38	6, 37	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂfld ↾s ℝ))
39	38	reseq1i 5499	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘(ℂfld ↾s ℝ)) ↾ (ℝ × ℝ))
40		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
41	17, 18, 19, 4, 21, 33, 35, 27, 39, 40	prdsdsval3 16268	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹(dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))𝐺) = sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
42	15, 41	eqtrd 2758	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
43		eqid 2724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
44	23, 43	rrndstprj1 33861	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
45	44	an32s 881	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
46	3, 45	sylanl1 685	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
47	46	ralrimiva 3068	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
48		ovex 6793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ V
49	48	rgenw 3026	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ V
50		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)))
51		breq1 4763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) → (𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ↔ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺)))
52	50, 51	ralrnmpt 6483	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺)))
53	49, 52	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
54	47, 53	sylibr 224	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
55	23	rrnmet 33860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
56	4, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
57		metge0 22272	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
58	56, 22, 34, 57	syl3anc 1439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
59		elsni 4302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 = 0)
60	59	breq1d 4770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {0} → (𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ↔ 0 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺)))
61	58, 60	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺)))
62	61	ralrimiv 3067	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ∀𝑧 ∈ {0}𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
63		ralunb 3902	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ↔ (∀𝑧 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∧ ∀𝑧 ∈ {0}𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺)))
64	54, 62, 63	sylanbrc 701	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ∀𝑧 ∈ (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
65	17, 18, 19, 4, 21, 27, 33	prdsbascl 16266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
66	65	r19.21bi 3034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
67	17, 18, 19, 4, 21, 27, 35	prdsbascl 16266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
68	67	r19.21bi 3034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
69	43	remet 22715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
70		metcl 22259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
71	69, 70	mp3an1 1524	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
72	66, 68, 71	syl2anc 696	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
73	72, 50	fmptd 6500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))):𝐼⟶ℝ)
74		frn 6166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))):𝐼⟶ℝ → ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ⊆ ℝ)
75	73, 74	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ⊆ ℝ)
76		ressxr 10196	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
77	75, 76	syl6ss 3721	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ⊆ ℝ*)
78		0xr 10199	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
79	78	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ∈ ℝ*)
80	79	snssd 4448	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → {0} ⊆ ℝ*)
81	77, 80	unssd 3897	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
82		metcl 22259	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∈ ℝ)
83	56, 22, 34, 82	syl3anc 1439	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∈ ℝ)
84	76, 83	sseldi 3707	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∈ ℝ*)
85		supxrleub 12270	. . . . 5 ⊢ (((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* ∧ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∈ ℝ*) → (sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺)))
86	81, 84, 85	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺)))
87	64, 86	mpbird 247	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
88	42, 87	eqbrtrd 4782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
89		rzal 4181	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 = ∅ → ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
90	22, 23	syl6eleq 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
91		elmapi 7996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
92		ffn 6158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐼)
93	90, 91, 92	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐹 Fn 𝐼)
94	34, 23	syl6eleq 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
95		elmapi 7996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
96		ffn 6158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:𝐼⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐼)
97	94, 95, 96	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐺 Fn 𝐼)
98		eqfnfv 6426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ 𝐺 Fn 𝐼) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
99	93, 97, 98	syl2anc 696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
100	89, 99	syl5ibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐼 = ∅ → 𝐹 = 𝐺))
101	100	imp 444	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → 𝐹 = 𝐺)
102	101	oveq1d 6780	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) = (𝐺(ℝn‘𝐼)𝐺))
103		met0 22270	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐺(ℝn‘𝐼)𝐺) = 0)
104	56, 34, 103	syl2anc 696	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐺(ℝn‘𝐼)𝐺) = 0)
105		hashcl 13260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
106	4, 105	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
107	106	nn0red 11465	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
108	106	nn0ge0d 11467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (♯‘𝐼))
109	107, 108	resqrtcld 14276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
110	5, 1, 23	repwsmet 33865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
111	4, 110	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
112		metcl 22259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
113	111, 22, 34, 112	syl3anc 1439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
114	107, 108	sqrtge0d 14279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (√‘(♯‘𝐼)))
115		metge0 22272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
116	111, 22, 34, 115	syl3anc 1439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
117	109, 113, 114, 116	mulge0d 10717	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
118	104, 117	eqbrtrd 4782	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐺(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
119	118	adantr 472	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐺(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
120	102, 119	eqbrtrd 4782	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
121	83	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∈ ℝ)
122	109, 113	remulcld 10183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
123	122	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
124		rpre 11953	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
125	124	ad2antll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ)
126	123, 125	readdcld 10182	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟) ∈ ℝ)
127	4	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼 ∈ Fin)
128		simprl 811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼 ≠ ∅)
129		eldifsn 4425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅))
130	127, 128, 129	sylanbrc 701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
131	22	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐹 ∈ 𝑋)
132	34	adantr 472	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐺 ∈ 𝑋)
133	113	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
134		simprr 813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
135		hashnncl 13270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
136	127, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
137	128, 136	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ)
138	137	nnrpd 11984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
139	138	rpsqrtcld 14270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
140	134, 139	rpdivcld 12003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
141	140	rpred 11986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ)
142	133, 141	readdcld 10182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
143		0red 10154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ∈ ℝ)
144	116	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
145	133, 140	ltaddrpd 12019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝐷𝐺) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
146	143, 133, 142, 144, 145	lelttrd 10308	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
147	142, 146	elrpd 11983	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ+)
148	72	adantlr 753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
149	133	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
150	142	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
151	81	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
152		ssun1 3884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ⊆ (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0})
153		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑘 ∈ 𝐼)
154	50	elrnmpt1 5481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ V) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))))
155	153, 48, 154	sylancl 697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))))
156	152, 155	sseldi 3707	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}))
157		supxrub 12268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* ∧ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0})) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
158	151, 156, 157	syl2anc 696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
159	42	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
160	158, 159	breqtrrd 4788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
161	145	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹𝐷𝐺) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
162	148, 149, 150, 160, 161	lelttrd 10308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
163	162	ralrimiva 3068	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
164	23, 43	rrndstprj2 33862	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) < (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) · (√‘(♯‘𝐼))))
165	130, 131, 132, 147, 163, 164	syl32anc 1447	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) < (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) · (√‘(♯‘𝐼))))
166	133	recnd 10181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℂ)
167	141	recnd 10181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℂ)
168	109	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
169	168	recnd 10181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℂ)
170	166, 167, 169	adddird 10178	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) · (√‘(♯‘𝐼))) = (((𝐹𝐷𝐺) · (√‘(♯‘𝐼))) + ((𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼)))))
171	166, 169	mulcomd 10174	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝐷𝐺) · (√‘(♯‘𝐼))) = ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
172	125	recnd 10181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℂ)
173	139	rpne0d 11991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
174	172, 169, 173	divcan1d 10915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼))) = 𝑟)
175	171, 174	oveq12d 6783	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((𝐹𝐷𝐺) · (√‘(♯‘𝐼))) + ((𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼)))) = (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
176	170, 175	eqtrd 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) · (√‘(♯‘𝐼))) = (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
177	165, 176	breqtrd 4786	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) < (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
178	121, 126, 177	ltled 10298	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
179	178	anassrs 683	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
180	179	ralrimiva 3068	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
181		alrple 12151	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∈ ℝ ∧ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ) → ((𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟)))
182	83, 122, 181	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟)))
183	182	adantr 472	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → ((𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟)))
184	180, 183	mpbird 247	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
185	120, 184	pm2.61dane 2983	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
186	88, 185	jca 555	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹𝐷𝐺) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∧ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2896  ∀wral 3014  Vcvv 3304   ∖ cdif 3677   ∪ cun 3678   ⊆ wss 3680  ∅c0 4023  {csn 4285   class class class wbr 4760   ↦ cmpt 4837   × cxp 5216  ran crn 5219   ↾ cres 5220   ∘ ccom 5222   Fn wfn 5996  ⟶wf 5997  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765   ↑_𝑚 cmap 7974  Fincfn 8072  supcsup 8462  ℂcc 10047  ℝcr 10048  0cc0 10049   + caddc 10052   · cmul 10054  ℝ^*cxr 10186   < clt 10187   ≤ cle 10188   − cmin 10379   / cdiv 10797  ℕcn 11133  ℕ₀cn0 11405  ℝ⁺crp 11946  ♯chash 13232  √csqrt 14093  abscabs 14094  Basecbs 15980   ↾_s cress 15981  Scalarcsca 16067  distcds 16073  X_scprds 16229   ↑_s cpws 16230  Metcme 19855  ℂ_fldccnfld 19869  ℝⁿcrrn 33856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-clim 14339  df-sum 14537  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-prds 16231  df-pws 16233  df-xmet 19862  df-met 19863  df-cnfld 19870  df-rrn 33857

This theorem is referenced by:  rrntotbnd  33867