Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrndstprj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrndstprj1 33961
Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnval.1 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
rrndstprj1.1 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
rrndstprj1 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))

Proof of Theorem rrndstprj1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 750 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐼 ∈ Fin)
2 simprl 754 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹𝑋)
3 rrnval.1 . . . . . . . . . 10 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
42, 3syl6eleq 2860 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
5 elmapi 8031 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
76ffvelrnda 6502 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8 simprr 756 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺𝑋)
98, 3syl6eleq 2860 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
10 elmapi 8031 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
1211ffvelrnda 6502 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
137, 12resubcld 10660 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
1413resqcld 13242 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ)
1513sqge0d 13243 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → 0 ≤ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
16 fveq2 6332 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐴))
17 fveq2 6332 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝐴))
1816, 17oveq12d 6811 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))
1918oveq1d 6808 . . . . 5 (𝑘 = 𝐴 → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
20 simplr 752 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴𝐼)
211, 14, 15, 19, 20fsumge1 14736 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2) ≤ Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
226, 20ffvelrnd 6503 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
2311, 20ffvelrnd 6503 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
2422, 23resubcld 10660 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ)
25 absresq 14250 . . . . 5 (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
2624, 25syl 17 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
271, 14fsumrecl 14673 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ)
281, 14, 15fsumge0 14734 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
29 resqrtth 14204 . . . . 5 ((Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2) = Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
3027, 28, 29syl2anc 573 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2) = Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
3121, 26, 303brtr4d 4818 . . 3 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) ≤ ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2))
3224recnd 10270 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℂ)
3332abscld 14383 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ∈ ℝ)
3427, 28resqrtcld 14364 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
3532absge0d 14391 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
3627, 28sqrtge0d 14367 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
3733, 34, 35, 36le2sqd 13251 . . 3 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ≤ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ↔ ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) ≤ ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2)))
3831, 37mpbird 247 . 2 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ≤ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
39 rrndstprj1.1 . . . 4 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4039remetdval 22812 . . 3 (((𝐹𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
4122, 23, 40syl2anc 573 . 2 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
423rrnmval 33959 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
43423expb 1113 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
4443adantlr 694 . 2 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
4538, 41, 443brtr4d 4818 1 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4786   × cxp 5247  cres 5251  ccom 5253  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑚 cmap 8009  Fincfn 8109  cr 10137  0cc0 10138  cle 10277  cmin 10468  2c2 11272  cexp 13067  csqrt 14181  abscabs 14182  Σcsu 14624  ncrrn 33956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-rrn 33957
This theorem is referenced by:  rrncmslem  33963  rrnequiv  33966
  Copyright terms: Public domain W3C validator