Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrndsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrndsmet 41033
 Description: 𝐷 is a metric for the n-dimensional real Euclidean space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rrndsmet.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
rrndsmet.2 𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
Assertion
Ref Expression
rrndsmet (𝜑𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)))
Distinct variable group:   𝑓,𝑋,𝑔,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓,𝑔,𝑘)   𝐷(𝑓,𝑔,𝑘)

Proof of Theorem rrndsmet
StepHypRef Expression
1 rrndsmet.2 . . . 4 𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐷 = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
3 rrndsmet.1 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
4 eqid 2770 . . . . 5 (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘𝑋)
5 eqid 2770 . . . . 5 (ℝ ↑𝑚 𝑋) = (ℝ ↑𝑚 𝑋)
64, 5rrxdsfi 41016 . . . 4 (𝑋 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
73, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↦ (√‘Σ𝑘𝑋 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
82, 7eqtr4d 2807 . 2 (𝜑𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝑋)))
9 eqid 2770 . . . 4 (dist‘(ℝ^‘𝑋)) = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
109rrxmetfi 41018 . . 3 (𝑋 ∈ Fin → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)))
113, 10syl 17 . 2 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝑋)) ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)))
128, 11eqeltrd 2849 1 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑𝑚 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792   ↦ cmpt2 6794   ↑𝑚 cmap 8008  Fincfn 8108  ℝcr 10136   − cmin 10467  2c2 11271  ↑cexp 13066  √csqrt 14180  Σcsu 14623  distcds 16157  Metcme 19946  ℝ^crrx 23389 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-tpos 7503  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-sup 8503  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-rp 12035  df-ico 12385  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-prds 16315  df-pws 16317  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-ghm 17865  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-cring 18757  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-dvr 18890  df-rnghom 18924  df-drng 18958  df-field 18959  df-subrg 18987  df-staf 19054  df-srng 19055  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-sra 19386  df-rgmod 19387  df-met 19954  df-cnfld 19961  df-refld 20167  df-dsmm 20292  df-frlm 20307  df-nm 22606  df-tng 22608  df-tch 23187  df-rrx 23391 This theorem is referenced by:  rrndsxmet  41034  ioorrnopnlem  41035
 Copyright terms: Public domain W3C validator