Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrgsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrgsupp 19506
 Description: Left multiplication by a left regular element does not change the support set of a vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Revised by AV, 20-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrgval.e 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgval.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrgval.t · = (.r𝑅)
rrgval.z 0 = (0g𝑅)
rrgsupp.i (𝜑𝐼𝑉)
rrgsupp.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
rrgsupp.x (𝜑𝑋𝐸)
rrgsupp.y (𝜑𝑌:𝐼𝐵)
Assertion
Ref Expression
rrgsupp (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))

Proof of Theorem rrgsupp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrgsupp.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑉)
2 rrgsupp.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐸)
32adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑋𝐸)
4 fvexd 6344 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝑌𝑦) ∈ V)
5 fconstmpt 5303 . . . . . . . . . 10 (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦𝐼𝑋)
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 × {𝑋}) = (𝑦𝐼𝑋))
7 rrgsupp.y . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌:𝐼𝐵)
87feqmptd 6391 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑌𝑦)))
91, 3, 4, 6, 8offval2 7061 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))))
109adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))))
1110fveq1d 6334 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) = ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦)))‘𝑥))
12 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
13 ovex 6823 . . . . . . 7 (𝑋 · (𝑌𝑥)) ∈ V
14 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑌𝑦) = (𝑌𝑥))
1514oveq2d 6809 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (𝑋 · (𝑌𝑦)) = (𝑋 · (𝑌𝑥)))
16 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦)))
1715, 16fvmptg 6422 . . . . . . 7 ((𝑥𝐼 ∧ (𝑋 · (𝑌𝑥)) ∈ V) → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦)))‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌𝑥)))
1812, 13, 17sylancl 574 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦)))‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌𝑥)))
1911, 18eqtrd 2805 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) = (𝑋 · (𝑌𝑥)))
2019neeq1d 3002 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑋 · (𝑌𝑥)) ≠ 0 ))
2120rabbidva 3338 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌𝑥)) ≠ 0 })
22 rrgsupp.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2322adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
242adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑋𝐸)
257ffvelrnda 6502 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑌𝑥) ∈ 𝐵)
26 rrgval.e . . . . . . 7 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
27 rrgval.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
28 rrgval.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
29 rrgval.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
3026, 27, 28, 29rrgeq0 19505 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐸 ∧ (𝑌𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · (𝑌𝑥)) = 0 ↔ (𝑌𝑥) = 0 ))
3123, 24, 25, 30syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑋 · (𝑌𝑥)) = 0 ↔ (𝑌𝑥) = 0 ))
3231necon3bid 2987 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑋 · (𝑌𝑥)) ≠ 0 ↔ (𝑌𝑥) ≠ 0 ))
3332rabbidva 3338 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐼 ∣ (𝑋 · (𝑌𝑥)) ≠ 0 } = {𝑥𝐼 ∣ (𝑌𝑥) ≠ 0 })
3421, 33eqtrd 2805 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 } = {𝑥𝐼 ∣ (𝑌𝑥) ≠ 0 })
35 ovex 6823 . . . . . 6 (𝑋 · (𝑌𝑦)) ∈ V
3635, 16fnmpti 6162 . . . . 5 (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) Fn 𝐼
37 fneq1 6119 . . . . 5 (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) Fn 𝐼 ↔ (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) Fn 𝐼))
3836, 37mpbiri 248 . . . 4 (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑋 · (𝑌𝑦))) → ((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) Fn 𝐼)
399, 38syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) Fn 𝐼)
40 fvex 6342 . . . . 5 (0g𝑅) ∈ V
4129, 40eqeltri 2846 . . . 4 0 ∈ V
4241a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
43 suppvalfn 7453 . . 3 ((((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) Fn 𝐼𝐼𝑉0 ∈ V) → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
4439, 1, 42, 43syl3anc 1476 . 2 (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌)‘𝑥) ≠ 0 })
45 ffn 6185 . . . 4 (𝑌:𝐼𝐵𝑌 Fn 𝐼)
467, 45syl 17 . . 3 (𝜑𝑌 Fn 𝐼)
47 suppvalfn 7453 . . 3 ((𝑌 Fn 𝐼𝐼𝑉0 ∈ V) → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑌𝑥) ≠ 0 })
4846, 1, 42, 47syl3anc 1476 . 2 (𝜑 → (𝑌 supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑌𝑥) ≠ 0 })
4934, 44, 483eqtr4d 2815 1 (𝜑 → (((𝐼 × {𝑋}) ∘𝑓 · 𝑌) supp 0 ) = (𝑌 supp 0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  {crab 3065  Vcvv 3351  {csn 4316   ↦ cmpt 4863   × cxp 5247   Fn wfn 6026  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ∘𝑓 cof 7042   supp csupp 7446  Basecbs 16064  .rcmulr 16150  0gc0g 16308  Ringcrg 18755  RLRegcrlreg 19494 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-mgp 18698  df-ring 18757  df-rlreg 19498 This theorem is referenced by:  mdegvsca  24056  deg1mul3  24095
 Copyright terms: Public domain W3C validator