MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpvmasum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpvmasum2 25182
Description: A partial result along the lines of rpvmasum 25196. The sum of the von Mangoldt function over those integers 𝑛𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to (1 − 𝑀)(log𝑥 / ϕ(𝑥)) + 𝑂(1), where 𝑀 is the number of non-principal Dirichlet characters with Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 = 0. Our goal is to show this set is empty. Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
rpvmasum2.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum2.b (𝜑𝐴𝑈)
rpvmasum2.t 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
rpvmasum2.z1 ((𝜑𝑓𝑊) → 𝐴 = (1r𝑍))
Assertion
Ref Expression
rpvmasum2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑓, 1   𝐴,𝑓,𝑚,𝑥,𝑦   𝑓,𝐺   𝑓,𝑁,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑚,𝑛,𝑥   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑈,𝑚,𝑛,𝑥   𝑓,𝑊,𝑥   𝑓,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝐷,𝑓,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝐿,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑇(𝑓)   𝑈(𝑦,𝑓)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem rpvmasum2
Dummy variables 𝑐 𝑡 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.a . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 rpvmasum2.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
4 rpvmasum2.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
53, 4dchrfi 24961 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
62, 5syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ Fin)
7 fzfid 12755 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
8 rpvmasum.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
9 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
10 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐷) → 𝑓𝐷)
113, 8, 4, 9, 10dchrf 24948 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐷) → 𝑓:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
12 rpvmasum2.u . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑈 = (Unit‘𝑍)
139, 12unitss 18641 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
14 rpvmasum2.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝑈)
1513, 14sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐷) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
1711, 16ffvelrnd 6346 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐷) → (𝑓𝐴) ∈ ℂ)
1817cjcld 13917 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝐷) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
1918adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
2019adantrl 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
2111adantlr 750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
2221adantlr 750 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
231nnnn0d 11336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
24 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
258, 9, 24znzrhfo 19877 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
26 fof 6102 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
2723, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
29 elfzelz 12327 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℤ)
30 ffvelrn 6343 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿𝑛) ∈ (Base‘𝑍))
3128, 29, 30syl2an 494 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐿𝑛) ∈ (Base‘𝑍))
3231adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → (𝐿𝑛) ∈ (Base‘𝑍))
3322, 32ffvelrnd 6346 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → (𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
3433anasss 678 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → (𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
35 elfznn 12355 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
3635adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
37 vmacl 24825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
3938, 36nndivred 11054 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
4039recnd 10053 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
4140adantrr 752 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
4234, 41mulcld 10045 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
4320, 42mulcld 10045 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ ℂ)
4443anass1rs 848 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ ℂ)
457, 44fsumcl 14445 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ ℂ)
46 relogcl 24303 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
4746adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
4847recnd 10053 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
4948adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
50 ax-1cn 9979 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
51 neg1cn 11109 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
52 0cn 10017 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
5351, 52keepel 4146 . . . . . . 7 if(𝑓𝑊, -1, 0) ∈ ℂ
5450, 53keepel 4146 . . . . . 6 if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) ∈ ℂ
55 mulcl 10005 . . . . . 6 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) ∈ ℂ)
5649, 54, 55sylancl 693 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) ∈ ℂ)
576, 45, 56fsumsub 14501 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝐷𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑓𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − Σ𝑓𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
5842anass1rs 848 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
597, 58fsumcl 14445 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
6019, 59, 56subdid 10471 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (((∗‘(𝑓𝐴)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))))
617, 19, 58fsummulc2 14497 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
6254a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) ∈ ℂ)
6319, 49, 62mul12d 10230 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = ((log‘𝑥) · ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
64 ovif2 6723 . . . . . . . . . 10 ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0)))
65 fveq1 6177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = 1 → (𝑓𝐴) = ( 1𝐴))
66 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 = (0g𝐺)
671ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑁 ∈ ℕ)
6814ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝐴𝑈)
693, 8, 66, 12, 67, 68dchr1 24963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ( 1𝐴) = 1)
7065, 69sylan9eqr 2676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑓𝐴) = 1)
7170fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (∗‘(𝑓𝐴)) = (∗‘1))
72 1re 10024 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
73 cjre 13860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∗‘1) = 1
7571, 74syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (∗‘(𝑓𝐴)) = 1)
7675oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1) = (1 · 1))
77 1t1e1 11160 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 1) = 1
7876, 77syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1) = 1)
7978ifeq1da 4107 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → if(𝑓 = 1 , ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0))))
80 df-ne 2792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓1 ↔ ¬ 𝑓 = 1 )
81 ovif2 6723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0))
82 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → 𝜑)
83 rpvmasum2.z1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓𝑊) → 𝐴 = (1r𝑍))
8483fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓𝑊) → (𝑓𝐴) = (𝑓‘(1r𝑍)))
8582, 84sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (𝑓𝐴) = (𝑓‘(1r𝑍)))
863, 8, 4dchrmhm 24947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
87 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓𝐷)
8886, 87sseldi 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
89 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
90 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1r𝑍) = (1r𝑍)
9189, 90ringidval 18484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1r𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
92 eqid 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
93 cnfld1 19752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 = (1r‘ℂfld)
9492, 93ringidval 18484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
9591, 94mhm0 17324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑓‘(1r𝑍)) = 1)
9688, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (𝑓‘(1r𝑍)) = 1)
9796ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (𝑓‘(1r𝑍)) = 1)
9885, 97eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (𝑓𝐴) = 1)
9998fveq2d 6182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (∗‘(𝑓𝐴)) = (∗‘1))
10099, 74syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (∗‘(𝑓𝐴)) = 1)
101100oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1) = (1 · -1))
10251mulid2i 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 · -1) = -1
103101, 102syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1) = -1)
104103ifeq1da 4107 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → if(𝑓𝑊, ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0)) = if(𝑓𝑊, -1, ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0)))
10519adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
106105mul01d 10220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0) = 0)
107106ifeq2d 4096 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → if(𝑓𝑊, -1, ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
108104, 107eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → if(𝑓𝑊, ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
10981, 108syl5eq 2666 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
11080, 109sylan2br 493 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ ¬ 𝑓 = 1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
111110ifeq2da 4108 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → if(𝑓 = 1 , 1, ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))
11279, 111eqtrd 2654 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → if(𝑓 = 1 , ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))
11364, 112syl5eq 2666 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))
114113oveq2d 6651 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((log‘𝑥) · ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))
11563, 114eqtrd 2654 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))
11661, 115oveq12d 6653 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (((∗‘(𝑓𝐴)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
11760, 116eqtrd 2654 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
118117sumeq2dv 14414 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = Σ𝑓𝐷𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
119 fzfid 12755 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
120 inss1 3825 . . . . . . . . 9 ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
121 ssfi 8165 . . . . . . . . 9 (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
122119, 120, 121sylancl 693 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
1232phicld 15458 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
124123nncnd 11021 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
125120a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)))
126125sselda 3595 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
127126, 40syldan 487 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
128122, 124, 127fsummulc2 14497 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
129124adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
130129, 40mulcld 10045 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
131126, 130syldan 487 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
132131ralrimiva 2963 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
133119olcd 408 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin))
134 sumss2 14438 . . . . . . . 8 (((((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ ∀𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ) ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0))
135125, 132, 133, 134syl21anc 1323 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0))
136 elin 3788 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ↔ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛𝑇))
137136baib 943 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ↔ 𝑛𝑇))
138137adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ↔ 𝑛𝑇))
139 rpvmasum2.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
140139eleq2i 2691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑇𝑛 ∈ (𝐿 “ {𝐴}))
141 ffn 6032 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) → 𝐿 Fn ℤ)
14228, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿 Fn ℤ)
143 fniniseg 6324 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 Fn ℤ → (𝑛 ∈ (𝐿 “ {𝐴}) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝑛) = 𝐴)))
144143baibd 947 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 Fn ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ∈ (𝐿 “ {𝐴}) ↔ (𝐿𝑛) = 𝐴))
145142, 29, 144syl2an 494 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 ∈ (𝐿 “ {𝐴}) ↔ (𝐿𝑛) = 𝐴))
146140, 145syl5bb 272 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛𝑇 ↔ (𝐿𝑛) = 𝐴))
147138, 146bitr2d 269 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐿𝑛) = 𝐴𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)))
14840mul02d 10219 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = 0)
149147, 148ifbieq2d 4102 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if((𝐿𝑛) = 𝐴, ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0))
150 ovif 6722 . . . . . . . . . 10 (if((𝐿𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = if((𝐿𝑛) = 𝐴, ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
1511ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑁 ∈ ℕ)
152151, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐷 ∈ Fin)
15319adantlr 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
15433, 153mulcld 10045 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) ∈ ℂ)
155152, 40, 154fsummulc1 14498 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑓𝐷 ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓𝐷 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
15614ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐴𝑈)
1573, 4, 8, 9, 12, 151, 31, 156sum2dchr 24980 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑓𝐷 ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) = if((𝐿𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0))
158157oveq1d 6650 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑓𝐷 ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = (if((𝐿𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
15940adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
160 mulass 10009 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ ∧ (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ) → (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
161 mul12 10187 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ ∧ (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ) → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
162160, 161eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ ∧ (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ) → (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
16333, 153, 159, 162syl3anc 1324 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
164163sumeq2dv 14414 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑓𝐷 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
165155, 158, 1643eqtr3d 2662 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (if((𝐿𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
166150, 165syl5eqr 2668 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if((𝐿𝑛) = 𝐴, ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
167149, 166eqtr3d 2656 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0) = Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
168167sumeq2dv 14414 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
169128, 135, 1683eqtrd 2658 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
170119, 6, 43fsumcom 14488 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = Σ𝑓𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
171169, 170eqtrd 2654 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
1723dchrabl 24960 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
173 ablgrp 18179 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
1744, 66grpidcl 17431 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → 1𝐷)
1752, 172, 173, 1744syl 19 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1𝐷)
17648mulid1d 10042 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
177176, 48eqeltrd 2699 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 1) ∈ ℂ)
178 iftrue 4083 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 1 → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) = 1)
179178oveq2d 6651 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 1 → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · 1))
180179sumsn 14456 . . . . . . . . 9 (( 1𝐷 ∧ ((log‘𝑥) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · 1))
181175, 177, 180syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · 1))
182 eldifsn 4308 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ↔ (𝑓𝐷𝑓1 ))
183 ifnefalse 4089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓1 → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
184183ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
185 negeq 10258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if(𝑓𝑊, 1, 0) = 1 → -if(𝑓𝑊, 1, 0) = -1)
186 negeq 10258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (if(𝑓𝑊, 1, 0) = 0 → -if(𝑓𝑊, 1, 0) = -0)
187 neg0 10312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -0 = 0
188186, 187syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if(𝑓𝑊, 1, 0) = 0 → -if(𝑓𝑊, 1, 0) = 0)
189185, 188ifsb 4090 . . . . . . . . . . . . . 14 -if(𝑓𝑊, 1, 0) = if(𝑓𝑊, -1, 0)
190184, 189syl6eqr 2672 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) = -if(𝑓𝑊, 1, 0))
191190oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · -if(𝑓𝑊, 1, 0)))
19248adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
19350, 52keepel 4146 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑓𝑊, 1, 0) ∈ ℂ
194 mulneg2 10452 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ if(𝑓𝑊, 1, 0) ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · -if(𝑓𝑊, 1, 0)) = -((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
195192, 193, 194sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → ((log‘𝑥) · -if(𝑓𝑊, 1, 0)) = -((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
196191, 195eqtrd 2654 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = -((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
197182, 196sylan2b 492 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = -((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
198197sumeq2dv 14414 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })-((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
199 diffi 8177 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ Fin → (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin)
2006, 199syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin)
20148adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
202 mulcl 10005 . . . . . . . . . . 11 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ if(𝑓𝑊, 1, 0) ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) ∈ ℂ)
203201, 193, 202sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) ∈ ℂ)
204200, 203fsumneg 14500 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })-((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) = -Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
205193a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → if(𝑓𝑊, 1, 0) ∈ ℂ)
206200, 48, 205fsummulc2 14497 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0)) = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
207 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
208 ssrab2 3679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0} ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
209207, 208eqsstri 3627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
210 difss 3729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ 𝐷
211209, 210sstri 3604 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑊𝐷
212 ssfi 8165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑊𝐷) → 𝑊 ∈ Fin)
2136, 211, 212sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑊 ∈ Fin)
214 fsumconst 14503 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑓𝑊 1 = ((#‘𝑊) · 1))
215213, 50, 214sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝑊 1 = ((#‘𝑊) · 1))
216209a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 }))
21750a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
218217ralrimivw 2964 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑓𝑊 1 ∈ ℂ)
219200olcd 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin))
220 sumss2 14438 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 }) ∧ ∀𝑓𝑊 1 ∈ ℂ) ∧ ((𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin)) → Σ𝑓𝑊 1 = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0))
221216, 218, 219, 220syl21anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝑊 1 = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0))
222 hashcl 13130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ Fin → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
223213, 222syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
224223nn0cnd 11338 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
225224mulid1d 10042 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((#‘𝑊) · 1) = (#‘𝑊))
226215, 221, 2253eqtr3d 2662 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0) = (#‘𝑊))
227226oveq2d 6651 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0)) = ((log‘𝑥) · (#‘𝑊)))
228206, 227eqtr3d 2656 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) = ((log‘𝑥) · (#‘𝑊)))
229228negeqd 10260 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → -Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) = -((log‘𝑥) · (#‘𝑊)))
230198, 204, 2293eqtrd 2658 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = -((log‘𝑥) · (#‘𝑊)))
231181, 230oveq12d 6653 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (((log‘𝑥) · 1) + -((log‘𝑥) · (#‘𝑊))))
23248, 224mulcld 10045 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (#‘𝑊)) ∈ ℂ)
233177, 232negsubd 10383 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) · 1) + -((log‘𝑥) · (#‘𝑊))) = (((log‘𝑥) · 1) − ((log‘𝑥) · (#‘𝑊))))
234231, 233eqtrd 2654 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (((log‘𝑥) · 1) − ((log‘𝑥) · (#‘𝑊))))
235 disjdif 4031 . . . . . . . 8 ({ 1 } ∩ (𝐷 ∖ { 1 })) = ∅
236235a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ({ 1 } ∩ (𝐷 ∖ { 1 })) = ∅)
237 undif2 4035 . . . . . . . 8 ({ 1 } ∪ (𝐷 ∖ { 1 })) = ({ 1 } ∪ 𝐷)
238175snssd 4331 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → { 1 } ⊆ 𝐷)
239 ssequn1 3775 . . . . . . . . 9 ({ 1 } ⊆ 𝐷 ↔ ({ 1 } ∪ 𝐷) = 𝐷)
240238, 239sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ({ 1 } ∪ 𝐷) = 𝐷)
241237, 240syl5req 2667 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 = ({ 1 } ∪ (𝐷 ∖ { 1 })))
242236, 241, 6, 56fsumsplit 14452 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
24348, 217, 224subdid 10471 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))) = (((log‘𝑥) · 1) − ((log‘𝑥) · (#‘𝑊))))
244234, 242, 2433eqtr4rd 2665 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))) = Σ𝑓𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))
245171, 244oveq12d 6653 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) = (Σ𝑓𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − Σ𝑓𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
24657, 118, 2453eqtr4d 2664 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))))
247246mpteq2dva 4735 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))))
248 rpssre 11828 . . . 4 + ⊆ ℝ
249248a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
2501, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
25117adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (𝑓𝐴) ∈ ℂ)
252251cjcld 13917 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
25359, 56subcld 10377 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) ∈ ℂ)
254252, 253mulcld 10045 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ ℂ)
255254anasss 678 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑓𝐷)) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ ℂ)
25618adantr 481 . . . 4 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
257253an32s 845 . . . 4 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) ∈ ℂ)
258 o1const 14331 . . . . 5 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (∗‘(𝑓𝐴))) ∈ 𝑂(1))
259248, 18, 258sylancr 694 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (∗‘(𝑓𝐴))) ∈ 𝑂(1))
260 fveq1 6177 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 1 → (𝑓‘(𝐿𝑛)) = ( 1 ‘(𝐿𝑛)))
261260oveq1d 6650 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 1 → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = (( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
262261sumeq2sdv 14416 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
263262, 179oveq12d 6653 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · 1)))
264263adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · 1)))
26546recnd 10053 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
266265mulid1d 10042 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
267266oveq2d 6651 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · 1)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥)))
268264, 267sylan9eq 2674 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥)))
269268mpteq2dva 4735 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))))
2708, 24, 1, 3, 4, 66rpvmasumlem 25157 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
271270ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
272269, 271eqeltrd 2699 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
273183oveq2d 6651 . . . . . . . . . 10 (𝑓1 → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0)))
274273oveq2d 6651 . . . . . . . . 9 (𝑓1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0))))
27548adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
276 mulcom 10007 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · -1) = (-1 · (log‘𝑥)))
277275, 51, 276sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · -1) = (-1 · (log‘𝑥)))
278275mulm1d 10467 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (-1 · (log‘𝑥)) = -(log‘𝑥))
279277, 278eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · -1) = -(log‘𝑥))
280275mul01d 10220 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 0) = 0)
281279, 280ifeq12d 4097 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑓𝑊, ((log‘𝑥) · -1), ((log‘𝑥) · 0)) = if(𝑓𝑊, -(log‘𝑥), 0))
282 ovif2 6723 . . . . . . . . . . . 12 ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, ((log‘𝑥) · -1), ((log‘𝑥) · 0))
283 negeq 10258 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = (log‘𝑥) → -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = -(log‘𝑥))
284 negeq 10258 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = 0 → -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = -0)
285284, 187syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = 0 → -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = 0)
286283, 285ifsb 4090 . . . . . . . . . . . 12 -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = if(𝑓𝑊, -(log‘𝑥), 0)
287281, 282, 2863eqtr4g 2679 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))
288287oveq2d 6651 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
28959an32s 845 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
290 ifcl 4121 . . . . . . . . . . . 12 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) ∈ ℂ)
291275, 52, 290sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) ∈ ℂ)
292289, 291subnegd 10384 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
293288, 292eqtrd 2654 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
294274, 293sylan9eqr 2676 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓1 ) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
295294an32s 845 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
296295mpteq2dva 4735 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))))
2971ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → 𝑁 ∈ ℕ)
298 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → 𝑓𝐷)
299 simpr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → 𝑓1 )
300 eqid 2620 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
3018, 24, 297, 3, 4, 66, 298, 299, 300dchrmusumlema 25163 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))
3021adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐷) → 𝑁 ∈ ℕ)
303302ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
304298adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑓𝐷)
305 simplr 791 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑓1 )
306 simprl 793 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
307 simprrl 803 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡)
308 simprrr 804 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦))
3098, 24, 303, 3, 4, 66, 304, 305, 300, 306, 307, 308, 207dchrvmaeq0 25174 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑓𝑊𝑡 = 0))
310 ifbi 4098 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑊𝑡 = 0) → if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))
311310oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑊𝑡 = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0)))
312311mpteq2dv 4736 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑊𝑡 = 0) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))))
313309, 312syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))))
3148, 24, 303, 3, 4, 66, 304, 305, 300, 306, 307, 308dchrvmasumif 25173 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
315313, 314eqeltrd 2699 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
316315rexlimdvaa 3028 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1)))
317316exlimdv 1859 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1)))
318301, 317mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
319296, 318eqeltrd 2699 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
320272, 319pm2.61dane 2878 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
321256, 257, 259, 320o1mul2 14336 . . 3 ((𝜑𝑓𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))) ∈ 𝑂(1))
322249, 250, 255, 321fsumo1 14525 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))) ∈ 𝑂(1))
323247, 322eqeltrrd 2700 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  {crab 2913  cdif 3564  cun 3565  cin 3566  wss 3567  c0 3907  ifcif 4077  {csn 4168   class class class wbr 4644  cmpt 4720  ccnv 5103  cima 5107   Fn wfn 5871  wf 5872  ontowfo 5874  cfv 5876  (class class class)co 6635  Fincfn 7940  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926  +∞cpnf 10056  cle 10060  cmin 10251  -cneg 10252   / cdiv 10669  cn 11005  0cn0 11277  cz 11362  cuz 11672  +crp 11817  [,)cico 12162  ...cfz 12311  cfl 12574  seqcseq 12784  #chash 13100  ccj 13817  abscabs 13955  cli 14196  𝑂(1)co1 14198  Σcsu 14397  ϕcphi 15450  Basecbs 15838  0gc0g 16081   MndHom cmhm 17314  Grpcgrp 17403  Abelcabl 18175  mulGrpcmgp 18470  1rcur 18482  Unitcui 18620  fldccnfld 19727  ℤRHomczrh 19829  ℤ/nczn 19832  logclog 24282  Λcvma 24799  DChrcdchr 24938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-disj 4612  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-rpss 6922  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-tpos 7337  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-omul 7550  df-er 7727  df-ec 7729  df-qs 7733  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-acn 8753  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ioc 12165  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-fac 13044  df-bc 13073  df-hash 13101  df-word 13282  df-concat 13284  df-s1 13285  df-shft 13788  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-limsup 14183  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-o1 14202  df-lo1 14203  df-sum 14398  df-ef 14779  df-e 14780  df-sin 14781  df-cos 14782  df-pi 14784  df-dvds 14965  df-gcd 15198  df-prm 15367  df-phi 15452  df-pc 15523  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-qus 16150  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-mhm 17316  df-submnd 17317  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-sbg 17408  df-mulg 17522  df-subg 17572  df-nsg 17573  df-eqg 17574  df-ghm 17639  df-gim 17682  df-ga 17704  df-cntz 17731  df-oppg 17757  df-od 17929  df-gex 17930  df-pgp 17931  df-lsm 18032  df-pj1 18033  df-cmn 18176  df-abl 18177  df-cyg 18261  df-dprd 18375  df-dpj 18376  df-mgp 18471  df-ur 18483  df-ring 18530  df-cring 18531  df-oppr 18604  df-dvdsr 18622  df-unit 18623  df-invr 18653  df-dvr 18664  df-rnghom 18696  df-drng 18730  df-subrg 18759  df-lmod 18846  df-lss 18914  df-lsp 18953  df-sra 19153  df-rgmod 19154  df-lidl 19155  df-rsp 19156  df-2idl 19213  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-cnfld 19728  df-zring 19800  df-zrh 19833  df-zn 19836  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-lp 20921  df-perf 20922  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-haus 21100  df-cmp 21171  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-fil 21631  df-fm 21723  df-flim 21724  df-flf 21725  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-cncf 22662  df-0p 23418  df-limc 23611  df-dv 23612  df-ply 23925  df-idp 23926  df-coe 23927  df-dgr 23928  df-quot 24027  df-log 24284  df-cxp 24285  df-em 24700  df-cht 24804  df-vma 24805  df-chp 24806  df-ppi 24807  df-mu 24808  df-dchr 24939
This theorem is referenced by:  dchrisum0re  25183  rpvmasum  25196
  Copyright terms: Public domain W3C validator