Theorem rpsqrtcld 14358

Description: The square root of a positive real is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
sqrgt0d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpsqrtcld	⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpsqrtcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrgt0d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpsqrtcl 14213	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6030  ℝ⁺crp 12035  √csqrt 14181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183

This theorem is referenced by:  sqrtgt0d  14359  prmreclem3  15829  prmreclem5  15831  cxpsqrt  24670  divsqrtsumlem  24927  bposlem7  25236  bposlem9  25238  chtppilim  25385  chpchtlim  25389  rplogsumlem1  25394  dchrisum0fno1  25421  dchrisum0lema  25424  dchrisum0lem1b  25425  dchrisum0lem1  25426  dchrisum0lem2a  25427  dchrisum0lem2  25428  dchrisum0lem3  25429  dchrisum0  25430  pntlemb  25507  pntlemh  25509  pntlemr  25512  pntlemj  25513  pntlemk  25516  minvecolem5  28077  logdivsqrle  31068  hgt750leme  31076  rrndstprj2  33962  rrncmslem  33963  rrnequiv  33966  pellexlem4  37922  pell1qrgaplem  37963  pell14qrgapw  37966  pellqrexplicit  37967  pellqrex  37969  pellfundge  37972  pellfundgt1  37973  rmspecfund  38000  rmxycomplete  38008  stirlinglem2  40806  stirlinglem4  40808  stirlinglem13  40817  stirlinglem15  40819  stirlingr  40821  qndenserrnbllem  41028  hoiqssbllem1  41353  hoiqssbllem2  41354  hoiqssbllem3  41355