MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rprege0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rprege0d 12064
Description: A positive real is real and greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rprege0d (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
21rpred 12057 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
31rpge0d 12061 . 2 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
42, 3jca 555 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2131   class class class wbr 4796  cr 10119  0cc0 10120  cle 10259  +crp 12017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-rp 12018
This theorem is referenced by:  eirrlem  15123  prmreclem3  15816  prmreclem6  15819  cxprec  24623  cxpsqrt  24640  cxpcn3lem  24679  cxplim  24889  cxploglim2  24896  divsqrtsumlem  24897  divsqrtsumo1  24901  fsumharmonic  24929  zetacvg  24932  logfacubnd  25137  logfacbnd3  25139  bposlem1  25200  bposlem4  25203  bposlem7  25206  bposlem9  25208  dchrmusum2  25374  dchrvmasumlem3  25379  dchrisum0flblem2  25389  dchrisum0fno1  25391  dchrisum0lema  25394  dchrisum0lem1b  25395  dchrisum0lem1  25396  dchrisum0lem2a  25397  dchrisum0lem2  25398  dchrisum0lem3  25399  chpdifbndlem2  25434  selberg3lem1  25437  pntrsumo1  25445  pntrlog2bndlem2  25458  pntrlog2bndlem4  25460  pntrlog2bndlem6a  25462  pntpbnd2  25467  pntibndlem2  25471  pntlemb  25477  pntlemg  25478  pntlemh  25479  pntlemn  25480  pntlemr  25482  pntlemj  25483  pntlemf  25485  pntlemk  25486  pntlemo  25487  blocnilem  27960  ubthlem2  28028  minvecolem4  28037  2sqmod  29949  eulerpartlemgc  30725  irrapxlem4  37883  irrapxlem5  37884  stirlinglem3  40788  stirlinglem15  40800  amgmlemALT  43054
  Copyright terms: Public domain W3C validator