MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpred 11910
Description: A positive real is a real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpred (𝜑𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem rpred
StepHypRef Expression
1 rpssre 11881 . 2 + ⊆ ℝ
2 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
31, 2sseldi 3634 1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  cr 9973  +crp 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-rab 2950  df-in 3614  df-ss 3621  df-rp 11871
This theorem is referenced by:  rpxrd  11911  rpcnd  11912  rpregt0d  11916  rprege0d  11917  rprene0d  11918  rprecred  11921  ltmulgt11d  11945  ltmulgt12d  11946  gt0divd  11947  ge0divd  11948  lediv12ad  11969  xlemul1  12158  xov1plusxeqvd  12356  ltexp2a  12952  expcan  12953  ltexp2  12954  leexp2a  12956  expnlbnd2  13035  expmulnbnd  13036  sqrlem6  14032  cau3lem  14138  rlimcld2  14353  addcn2  14368  mulcn2  14370  reccn2  14371  o1rlimmul  14393  rlimno1  14428  caucvgrlem  14447  isumrpcl  14619  isumltss  14624  expcnv  14640  mertenslem1  14660  effsumlt  14885  recoshcl  14932  eirrlem  14976  rpnnen2lem11  14997  bitsmod  15205  prmreclem3  15669  prmreclem5  15671  4sqlem7  15695  ssblex  22280  metss2lem  22363  methaus  22372  met1stc  22373  met2ndci  22374  metustto  22405  metustexhalf  22408  nlmvscnlem2  22536  nlmvscnlem1  22537  nrginvrcnlem  22542  nmoi2  22581  nghmcn  22596  reperflem  22668  iccntr  22671  icccmplem2  22673  reconnlem2  22677  opnreen  22681  metdcnlem  22686  metnrmlem3  22711  addcnlem  22714  cnheibor  22801  cnllycmp  22802  lebnumlem3  22809  lebnumii  22812  nmoleub2lem  22960  nmoleub2lem3  22961  nmoleub2lem2  22962  nmoleub3  22965  nmhmcn  22966  ipcnlem2  23089  ipcnlem1  23090  lmnn  23107  iscfil3  23117  cfilfcls  23118  iscmet3lem1  23135  iscmet3lem2  23136  bcthlem4  23170  bcthlem5  23171  minveclem3b  23245  minveclem3  23246  ivthlem2  23267  ovolgelb  23294  ovollb2lem  23302  ovolunlem1a  23310  ovolunlem1  23311  ovoliunlem1  23316  ovoliunlem2  23317  ovolscalem1  23327  ioombl1lem2  23373  ioombl1lem4  23375  uniioombllem1  23395  uniioombllem3  23399  uniioombllem4  23400  uniioombllem5  23401  opnmbllem  23415  volcn  23420  vitalilem4  23425  itg2mulclem  23558  itg2monolem3  23564  itg2cnlem2  23574  itg2cn  23575  itggt0  23653  dveflem  23787  dvferm1lem  23792  dvferm2lem  23794  lhop1lem  23821  lhop1  23822  lhop  23824  dvcnvrelem1  23825  dvcnvrelem2  23826  dvcnvre  23827  dvfsumrlim  23839  ftc1a  23845  ftc1lem4  23847  plyeq0lem  24011  aalioulem2  24133  aalioulem4  24135  aalioulem5  24136  aalioulem6  24137  aaliou  24138  aaliou2b  24141  aaliou3lem1  24142  aaliou3lem2  24143  aaliou3lem8  24145  aaliou3lem5  24147  aaliou3lem7  24149  aaliou3lem9  24150  ulmcn  24198  ulmdvlem1  24199  mtest  24203  itgulm  24207  psercn  24225  pserdvlem1  24226  pserdvlem2  24227  pserdv  24228  abelthlem7  24237  pilem2  24251  divlogrlim  24426  logcnlem3  24435  logcnlem4  24436  logccv  24454  divcxp  24478  cxplt  24485  cxple2  24488  cxpcn3lem  24533  cxpaddlelem  24537  cxpaddle  24538  loglesqrt  24544  leibpi  24714  rlimcnp3  24739  cxplim  24743  rlimcxp  24745  cxp2limlem  24747  cxp2lim  24748  cxploglim  24749  cxploglim2  24750  divsqrtsumlem  24751  jensenlem2  24759  logdifbnd  24765  emcllem4  24770  harmonicbnd4  24782  fsumharmonic  24783  zetacvg  24786  lgamgulmlem2  24801  lgamgulmlem5  24804  lgamucov  24809  regamcl  24832  relgamcl  24833  ftalem1  24844  ftalem2  24845  ftalem3  24846  ftalem5  24848  basellem1  24852  basellem3  24854  basellem4  24855  basellem8  24859  chtwordi  24927  chpchtsum  24989  logfacrlim  24994  logexprlim  24995  bclbnd  25050  efexple  25051  bposlem1  25054  bposlem2  25055  bposlem6  25059  bposlem7  25060  chebbnd1lem3  25205  chebbnd1  25206  chtppilimlem1  25207  chtppilimlem2  25208  chpo1ubb  25215  rplogsumlem1  25218  rplogsumlem2  25219  dchrisum0lem1a  25220  rpvmasumlem  25221  dchrisumlem2  25224  dchrisumlem3  25225  dchrmusumlema  25227  dchrmusum2  25228  dchrvmasumlem1  25229  dchrvmasum2lem  25230  dchrvmasumlema  25234  dchrvmasumiflem1  25235  dchrisum0fno1  25245  dchrisum0lem1b  25249  dchrisum0lem1  25250  dchrisum0lem2  25252  dchrisum0lem3  25253  dchrisum0  25254  mulogsumlem  25265  logdivsum  25267  mulog2sumlem2  25269  vmalogdivsum2  25272  2vmadivsumlem  25274  log2sumbnd  25278  selberglem2  25280  selberg  25282  selberg2lem  25284  chpdifbndlem1  25287  chpdifbndlem2  25288  selberg3lem1  25291  selberg4lem1  25294  pntrsumbnd2  25301  pntrlog2bndlem2  25312  pntrlog2bndlem3  25313  pntrlog2bndlem5  25315  pntrlog2bndlem6a  25316  pntrlog2bndlem6  25317  pntrlog2bnd  25318  pntpbnd1a  25319  pntpbnd1  25320  pntpbnd2  25321  pntibndlem1  25323  pntibndlem2  25325  pntibndlem3  25326  pntibnd  25327  pntlemc  25329  pntlema  25330  pntlemb  25331  pntlemg  25332  pntlemh  25333  pntlemn  25334  pntlemq  25335  pntlemr  25336  pntlemj  25337  pntlemi  25338  pntlemf  25339  pntlemk  25340  pntlemo  25341  pntleme  25342  pntlem3  25343  pntlemp  25344  pntleml  25345  ostth2lem1  25352  ostth2lem3  25369  ostth2  25371  ostth3  25372  crctcshwlkn0lem5  26762  smcnlem  27680  blocnilem  27787  blocni  27788  ubthlem2  27855  minvecolem3  27860  minvecolem4  27864  minvecolem5  27865  nmcexi  29013  lnconi  29020  fsumub  29702  rpxdivcld  29770  sqsscirc1  30082  cnre2csqlem  30084  tpr2rico  30086  xrmulc1cn  30104  xrge0iifiso  30109  xrge0iifhom  30111  esumcst  30253  esumdivc  30273  dya2icoseg  30467  omssubaddlem  30489  omssubadd  30490  probmeasb  30620  sgnmulrp2  30733  signsply0  30756  signshf  30793  logdivsqrle  30856  hgt750leme  30864  dnicn  32607  unblimceq0lem  32622  unbdqndv2lem1  32625  unbdqndv2lem2  32626  knoppndvlem18  32645  knoppndvlem21  32648  poimirlem29  33568  heicant  33574  opnmbllem0  33575  mblfinlem3  33578  itg2addnclem3  33593  itg2addnc  33594  itggt0cn  33612  ftc1cnnclem  33613  ftc1anclem6  33620  ftc1anclem7  33621  geomcau  33685  sstotbnd2  33703  isbnd3  33713  equivbnd  33719  prdsbnd2  33724  cntotbnd  33725  heibor1lem  33738  heiborlem6  33745  bfplem1  33751  bfplem2  33752  bfp  33753  rrndstprj2  33760  rrnequiv  33764  irrapxlem4  37706  irrapxlem5  37707  irrapx1  37709  pell1qrgaplem  37754  pell14qrgapw  37757  pellqrexplicit  37758  pellqrex  37760  pellfundge  37763  pellfundgt1  37764  rmspecfund  37791  rmxycomplete  37799  rpexpmord  37830  rmxypos  37831  binomcxplemnotnn0  38872  suprltrp  39857  supxrge  39867  infrpge  39880  infleinflem1  39899  xralrple4  39902  recnnltrp  39906  rpgtrecnn  39910  fmul01lt1lem1  40134  fmul01lt1lem2  40135  ltmod  40188  lptre2pt  40190  addlimc  40198  0ellimcdiv  40199  limclner  40201  climleltrp  40226  climisp  40296  climxrrelem  40299  climxrre  40300  limsupgtlem  40327  liminfltlem  40354  cnrefiisplem  40373  climxlim2lem  40389  dvdivbd  40456  ioodvbdlimc1lem2  40465  ioodvbdlimc2lem  40467  itgiccshift  40514  itgperiod  40515  stoweidlem1  40536  stoweidlem3  40538  stoweidlem5  40540  stoweidlem7  40542  stoweidlem11  40546  stoweidlem13  40548  stoweidlem14  40549  stoweidlem24  40559  stoweidlem25  40560  stoweidlem26  40561  stoweidlem34  40569  stoweidlem41  40576  stoweidlem42  40577  stoweidlem49  40584  stoweidlem51  40586  stoweidlem52  40587  stoweidlem59  40594  stoweidlem60  40595  stoweidlem62  40597  stoweid  40598  wallispilem5  40604  stirlinglem1  40609  stirlinglem4  40612  stirlinglem5  40613  stirlinglem6  40614  dirkercncflem1  40638  fourierdlem30  40672  fourierdlem39  40681  fourierdlem47  40688  fourierdlem73  40714  fourierdlem81  40722  fourierdlem87  40728  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  fourierdlem107  40748  rrndistlt  40828  qndenserrnbllem  40832  sge0ltfirp  40935  sge0rpcpnf  40956  sge0xaddlem1  40968  omeiunltfirp  41054  carageniuncllem2  41057  ovnsubaddlem1  41105  hoidmvlelem1  41130  hoidmvlelem2  41131  hoidmvlelem3  41132  hoidmvlelem4  41133  hoiqssbllem1  41157  hoiqssbllem2  41158  hoiqssbllem3  41159  hspmbllem2  41162  hspmbllem3  41163  ovolval5lem1  41187  ovolval5lem2  41188  iinhoiicc  41209  vonioolem1  41215  pimrecltpos  41240  smflimlem3  41302  smfmullem1  41319  smfmullem2  41320  smfmullem3  41321  modexp2m1d  41854  dignn0flhalflem1  42734  amgmwlem  42876  amgmw2d  42878  young2d  42879
  Copyright terms: Public domain W3C validator